حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \cos (y) + \sin (2 y) = x y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)) = \frac{d}{d x} (x y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (y)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

خطوة 2.2.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$x^{2} (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

خطوة 2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (y)$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 2.3.1.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 2.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) (2 y')$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 \cos (2 y) y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

خطوة 3.4

اضرب $y$ في $1$ .

$x y' + y$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 \cos (2 y) y' = x y' + y$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = x y' + y$

خطوة 5.2

اطرح $2 x \cos (y)$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = x y' + y - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.3

اطرح $x y'$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.4.1.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 + 2 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.4.1.1.3

اضرب $- 2$ في $2$ .

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 - 4 \sin^{2} (y)) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.4.1.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 y' - 4 \sin^{2} (y) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.4.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $- x^{2} \sin (y) y' + 2 y' - 4 \sin^{2} (y) y' - x y'$ .

$- x^{2} y' \sin (y) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y'$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $y'$ من $- x^{2} y' \sin (y) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أخرِج العامل $y'$ من $- x^{2} y' \sin (y)$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.5.1.2

أخرِج العامل $y'$ من $2 y'$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.5.1.3

أخرِج العامل $y'$ من $- 4 y' \sin^{2} (y)$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 + y' (- 4 \sin^{2} (y)) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.5.1.4

أخرِج العامل $y'$ من $- x y'$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 + y' (- 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.5.1.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2$ .

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2) + y' (- 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.5.1.6

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- x^{2} \sin (y) + 2) + y' (- 4 \sin^{2} (y))$ .

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.5.1.7

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x)$ .

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.5.2

اقسِم كل حد في $y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$ على $- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اقسِم كل حد في $y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$ على $- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ .

$\frac{y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

خطوة 5.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.5.2.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

خطوة 5.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} - \frac{2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

خطوة 5.5.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

خطوة 5.5.2.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2} \sin (y)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y)) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

خطوة 5.5.2.3.4

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y)) - 1 (- 2) - 4 \sin^{2} (y) - x}$

خطوة 5.5.2.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} \sin (y)) - 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2) - 4 \sin^{2} (y) - x}$

خطوة 5.5.2.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 \sin^{2} (y)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2) - (4 \sin^{2} (y)) - x}$

خطوة 5.5.2.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} \sin (y) - 2) - (4 \sin^{2} (y))$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - x}$

خطوة 5.5.2.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - (x)}$

خطوة 5.5.2.3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - (x)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)}$

خطوة 5.5.2.3.10

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.10.1

أعِد كتابة $- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- 1 (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)}$

خطوة 5.5.2.3.10.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y - 2 x \cos (y)}{x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 2 x \cos (y)}{x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x}$