حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} - y^{3} = 3 x^{2} y - 3 x y^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} y - 3 x y^{2})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

خطوة 2.2.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} y - 3 x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

خطوة 3.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{2}$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

خطوة 3.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

خطوة 3.3.7

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (2 x y y' + y^{2})$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) - 3 (2 x y y' + y^{2})$

خطوة 3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) - 3 (2 x y y') - 3 y^{2}$

خطوة 3.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اضرب $2$ في $3$ .

$3 x^{2} y' + 6 (y x) - 3 (2 x y y') - 3 y^{2}$

خطوة 3.4.3.2

اضرب $2$ في $- 3$ .

$3 x^{2} y' + 6 y x - 6 x y y' - 3 y^{2}$

خطوة 3.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = - 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $y'$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' = 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

خطوة 5.2

أضف $3 y^{2} y'$ إلى كلا المتعادلين.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

خطوة 5.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أضف $3 y^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

خطوة 5.3.2

اطرح $6 x y$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} y' - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 x^{2} y' - 6 x y y' + 3 y^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 x^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $3 y'$ من $- 6 x y y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y) + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y) + 3 y' y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

خطوة 5.4.4

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y)$ .

$3 y' (x^{2} - 2 x y) + 3 y' y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

خطوة 5.4.5

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y' (x^{2} - 2 x y) + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

خطوة 5.5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

خطوة 5.5.2

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$3 y' (x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}) = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

خطوة 5.5.3

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = y$ .

$3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

خطوة 5.6

اقسِم كل حد في $3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$ على $3 {(x - y)}^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اقسِم كل حد في $3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$ على $3 {(x - y)}^{2}$ .

$\frac{3 y' {(x - y)}^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y' {(x - y)}^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

خطوة 5.6.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

خطوة 5.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x - y)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

خطوة 5.6.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

خطوة 5.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

خطوة 5.6.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

خطوة 5.6.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

خطوة 5.6.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

خطوة 5.6.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6 x y$ .

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 {(x - y)}^{2}}$

خطوة 5.6.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {(x - y)}^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 ({(x - y)}^{2})}$

خطوة 5.6.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 {(x - y)}^{2}}$

خطوة 5.6.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 5.6.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$