حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} y^{2} - y e^{2 x y} = - 1$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{2} - y e^{2 x y}) = \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} y^{2} - y e^{2 x y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{3} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

خطوة 2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

خطوة 2.2.6

انقُل $3$ إلى يسار $y^{2}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y e^{2 x y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y e^{2 x y}]$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - \frac{d}{d x} [y e^{2 x y}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y$ و $g (x) = e^{2 x y}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x y$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x y$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 \frac{d}{d x} [x y])) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]))) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]))) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y' + y \cdot 1))) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.8

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y' + y \cdot 1))) + e^{2 x y} y')$

خطوة 2.3.9

اضرب $y$ في $1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y' + y))) + e^{2 x y} y')$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y') + 2 y)) + e^{2 x y} y')$

خطوة 2.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y')) + e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} y')$

خطوة 2.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y'))) + y (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} y')$

خطوة 2.4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y')))) - (y (e^{2 x y} (2 y))) - (e^{2 x y} y')$

خطوة 2.4.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 (y (e^{2 x y} (x y'))) - (y (e^{2 x y} (2 y))) - (e^{2 x y} y')$

خطوة 2.4.5.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{1} y (e^{2 x y} \cdot (2))) - (e^{2 x y} y')$

خطوة 2.4.5.3

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{1} y^{1} (e^{2 x y} \cdot (2))) - (e^{2 x y} y')$

خطوة 2.4.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{1 + 1} (e^{2 x y} \cdot (2))) - (e^{2 x y} y')$

خطوة 2.4.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{2} (e^{2 x y} \cdot (2))) - (e^{2 x y} y')$

خطوة 2.4.5.6

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x y}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{2} (2 \cdot e^{2 x y})) - (e^{2 x y} y')$

خطوة 2.4.5.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - 2 y^{2} e^{2 x y} - e^{2 x y} y'$

خطوة 2.4.6

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 e^{2 x y} x y y' - 2 e^{2 x y} y^{2} - e^{2 x y} y'$

خطوة 2.4.7

أعِد ترتيب العوامل في $2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 e^{2 x y} x y y' - 2 e^{2 x y} y^{2} - e^{2 x y} y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 x y e^{2 x y} y' - 2 y^{2} e^{2 x y} - e^{2 x y} y'$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 x y e^{2 x y} y' - 2 y^{2} e^{2 x y} - e^{2 x y} y' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد ترتيب العوامل في $2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 x y e^{2 x y} y' - 2 y^{2} e^{2 x y} - e^{2 x y} y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 x y y' e^{2 x y} - 2 y^{2} e^{2 x y} - y' e^{2 x y} = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $3 x^{2} y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{3} y y' - 2 x y y' e^{2 x y} - 2 y^{2} e^{2 x y} - y' e^{2 x y} = - 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 5.2.2

أضف $2 y^{2} e^{2 x y}$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x^{3} y y' - 2 x y y' e^{2 x y} - y' e^{2 x y} = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $2 x^{3} y y' - 2 x y y' e^{2 x y} - y' e^{2 x y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $2 x^{3} y y'$ .

$y' (2 x^{3} y) - 2 x y y' e^{2 x y} - y' e^{2 x y} = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 x y y' e^{2 x y}$ .

$y' (2 x^{3} y) + y' (- 2 x y e^{2 x y}) - y' e^{2 x y} = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $- y' e^{2 x y}$ .

$y' (2 x^{3} y) + y' (- 2 x y e^{2 x y}) + y' (- 1 e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

خطوة 5.3.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (2 x^{3} y) + y' (- 2 x y e^{2 x y})$ .

$y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y}) + y' (- 1 e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

خطوة 5.3.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y}) + y' (- 1 e^{2 x y})$ .

$y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - 1 e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $- 1 e^{2 x y}$ بالصيغة $- e^{2 x y}$ .

$y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$ على $2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$ على $2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}$ .

$\frac{y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}} = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}} + \frac{2 y^{2} e^{2 x y}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}} + \frac{2 y^{2} e^{2 x y}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

خطوة 5.5.3.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $- 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 3 x^{2}) + 2 y^{2} e^{2 x y}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

خطوة 5.5.3.2.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $2 y^{2} e^{2 x y}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 3 x^{2}) + y^{2} (2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

خطوة 5.5.3.2.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} (- 3 x^{2}) + y^{2} (2 e^{2 x y})$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 3 x^{2} + 2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

خطوة 5.5.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- (3 x^{2}) + 2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

خطوة 5.5.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $2 e^{2 x y}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- (3 x^{2}) - (- 2 e^{2 x y}))}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

خطوة 5.5.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2}) - (- 2 e^{2 x y})$ .

$y' = \frac{y^{2} (- (3 x^{2} - 2 e^{2 x y}))}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

خطوة 5.5.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.6.1

أعِد كتابة $- (3 x^{2} - 2 e^{2 x y})$ بالصيغة $- 1 (3 x^{2} - 2 e^{2 x y})$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 1 (3 x^{2} - 2 e^{2 x y}))}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

خطوة 5.5.3.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{2} (3 x^{2} - 2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} (3 x^{2} - 2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$