حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{x} = 3 \sqrt{y}$

خطوة 1

Rewrite the equation with rational exponents.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 3 \sqrt{y}$

خطوة 1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 3 y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (3 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

خطوة 3.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 3.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

خطوة 3.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

خطوة 3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.7.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 4.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 4.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 4.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 4.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 4.9

انقُل $y^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 4.10

اجمع $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ و $3$ .

$\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 4.11

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

خطوة 4.12

اجمع $\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ و $y'$ .

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2

اضرب كلا الطرفين في $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

بسّط $\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 y' = 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 y' = 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.2.1.3

اجمع $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ و $y^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.4

اقسِم كل حد في $3 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اقسِم كل حد في $3 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ على $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

خطوة 6.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

خطوة 6.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

خطوة 6.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 6.4.3.2

اجمع.

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

خطوة 6.4.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.3.1

اضرب $y^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

خطوة 6.4.3.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}}}$