حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{y} = x^{3} \ln (x)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x^{3} \ln (x))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$e^{y} y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اجمع $x^{3}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.3.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.3.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.3.2.2.5

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})$

خطوة 3.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$e^{y} y' = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $e^{y} y' = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ على $e^{y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $e^{y} y' = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ على $e^{y}$ .

$\frac{e^{y} y'}{e^{y}} = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{3 x^{2} \ln (x)}{e^{y}}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{y} y'}{e^{y}} = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{3 x^{2} \ln (x)}{e^{y}}$

خطوة 5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{3 x^{2} \ln (x)}{e^{y}}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط $3 \ln (x)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$y' = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{x^{2} \ln (x^{3})}{e^{y}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{x^{2} \ln (x^{3})}{e^{y}}$