حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(1 + \sin (12 t))}^{- 3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ({(1 + \sin (12 t))}^{- 3})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 3}$ و $g (t) = 1 + \sin (12 t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $1 + \sin (12 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d t} [1 + \sin (12 t)]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d t} [1 + \sin (12 t)]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + \sin (12 t)$ .

$- 3 {(1 + \sin (12 t))}^{- 4} \frac{d}{d t} [1 + \sin (12 t)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \sin (12 t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (12 t)]$ .

$- 3 {(1 + \sin (12 t))}^{- 4} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (12 t)])$

خطوة 3.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$- 3 {(1 + \sin (12 t))}^{- 4} (0 + \frac{d}{d t} [\sin (12 t)])$

خطوة 3.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [\sin (12 t)]$ .

$- 3 {(1 + \sin (12 t))}^{- 4} \frac{d}{d t} [\sin (12 t)]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \sin (t)$ و $g (t) = 12 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $12 t$ .

$- 3 {(1 + \sin (12 t))}^{- 4} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [12 t])$

خطوة 3.3.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$- 3 {(1 + \sin (12 t))}^{- 4} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [12 t])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $12 t$ .

$- 3 {(1 + \sin (12 t))}^{- 4} (\cos (12 t) \frac{d}{d t} [12 t])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $12 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3 {(1 + \sin (12 t))}^{- 4} \cos (12 t) (12 \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.4.2

اضرب $12$ في $- 3$ .

$- 36 {(1 + \sin (12 t))}^{- 4} \cos (12 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 36 {(1 + \sin (12 t))}^{- 4} \cos (12 t) \cdot 1$

خطوة 3.4.4

اضرب $- 36$ في $1$ .

$- 36 {(1 + \sin (12 t))}^{- 4} \cos (12 t)$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 36 \frac{1}{{(1 + \sin (12 t))}^{4}} \cos (12 t)$

خطوة 3.5.2

اجمع $- 36$ و $\frac{1}{{(1 + \sin (12 t))}^{4}}$ .

$\frac{- 36}{{(1 + \sin (12 t))}^{4}} \cos (12 t)$

خطوة 3.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{36}{{(1 + \sin (12 t))}^{4}} \cos (12 t)$

خطوة 3.5.4

اجمع $\cos (12 t)$ و $\frac{36}{{(1 + \sin (12 t))}^{4}}$ .

$- \frac{\cos (12 t) \cdot 36}{{(1 + \sin (12 t))}^{4}}$

خطوة 3.5.5

انقُل $36$ إلى يسار $\cos (12 t)$ .

$- \frac{36 \cos (12 t)}{{(1 + \sin (12 t))}^{4}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{36 \cos (12 t)}{{(1 + \sin (12 t))}^{4}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{36 \cos (12 t)}{{(1 + \sin (12 t))}^{4}}$