حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{\frac{t}{t + 1}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\frac{t}{t + 1}}$ في صورة ${(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ({(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ و $g (t) = \frac{t}{t + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{t}{t + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{t}{t + 1}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

خطوة 4.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

خطوة 4.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

خطوة 4.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

خطوة 4.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = t + 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 4.8

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 4.8.2

اضرب $t + 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 4.8.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 4.8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t (1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 4.8.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t (1 + 0)}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 4.8.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t \cdot 1}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 4.8.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 4.8.6.3

اطرح $t$ من $t$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 1}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 4.8.6.4

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 4.8.6.5

اضرب $\frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2} \cdot 2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 4.8.6.6

انقُل $2$ إلى يسار ${(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(t + 1)}^{2}} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 4.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

غيّر علامة الأُس بإعادة كتابة الأساس في صورة مقلوبه.

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2}} {(\frac{t + 1}{t})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.9.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{t + 1}{t}$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.1

اضرب $\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2}}$ في $\frac{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3.2

انقُل ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3.3

اضرب ${(t + 1)}^{2}$ في ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.3.1

انقُل ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(t + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(t + 1)}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2} t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3.3.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3.3.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.3.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3.3.6.2

أضف $- 1$ و $4$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$