حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = e^{7 t} \sin (8 t)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{7 t} \sin (8 t))$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = e^{7 t}$ و $g (t) = \sin (8 t)$ .

$e^{7 t} \frac{d}{d t} [\sin (8 t)] + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \sin (t)$ و $g (t) = 8 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $8 t$ .

$e^{7 t} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [8 t]) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

خطوة 3.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$e^{7 t} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [8 t]) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $8 t$ .

$e^{7 t} (\cos (8 t) \frac{d}{d t} [8 t]) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $8 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{7 t} (\cos (8 t) (8 \frac{d}{d t} [t])) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{7 t} (\cos (8 t) (8 \cdot 1)) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

خطوة 3.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $8$ في $1$ .

$e^{7 t} (\cos (8 t) \cdot 8) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

خطوة 3.3.3.2

انقُل $8$ إلى يسار $\cos (8 t)$ .

$e^{7 t} (8 \cdot \cos (8 t)) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = 7 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $7 t$ .

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [7 t])$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [7 t])$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $7 t$ .

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (e^{7 t} \frac{d}{d t} [7 t])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $7 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (e^{7 t} (7 \frac{d}{d t} [t]))$

خطوة 3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (e^{7 t} (7 \cdot 1))$

خطوة 3.5.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اضرب $7$ في $1$ .

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (e^{7 t} \cdot 7)$

خطوة 3.5.3.2

انقُل $7$ إلى يسار $e^{7 t}$ .

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (7 \cdot e^{7 t})$

خطوة 3.5.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$8 e^{7 t} \cos (8 t) + 7 e^{7 t} \sin (8 t)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 8 e^{7 t} \cos (8 t) + 7 e^{7 t} \sin (8 t)$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 8 e^{7 t} \cos (8 t) + 7 e^{7 t} \sin (8 t)$