حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \cot^{2} (\cos^{4} (t))$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\cot^{2} (\cos^{4} (t)))$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = \cot (\cos^{4} (t))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cot (\cos^{4} (t))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cot (\cos^{4} (t))$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \cot (t)$ و $g (t) = \cos^{4} (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\cos^{4} (t)$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

خطوة 3.2.2

مشتق $\cot (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos^{4} (t)$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (- \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) (\csc^{2} (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{4}$ و $g (t) = \cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $\cos (t)$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $\cos (t)$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (4 \cos^{3} (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

خطوة 3.5

اضرب $4$ في $- 2$ .

$- 8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (\cos^{3} (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

خطوة 3.6

مشتق $\cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \sin (t)$ .

$- 8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) (- \sin (t))$

خطوة 3.7

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) \sin (t)$

خطوة 3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أعِد ترتيب عوامل $8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) \sin (t)$ .

$8 \cos^{3} (t) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

خطوة 3.8.2

أعِد كتابة $\csc (\cos^{4} (t))$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$8 \cos^{3} (t) {(\frac{1}{\sin (\cos^{4} (t))})}^{2} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

خطوة 3.8.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\sin (\cos^{4} (t))}$ .

$8 \cos^{3} (t) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

خطوة 3.8.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$8 \cos^{3} (t) \frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

خطوة 3.8.5

اضرب $8 \cos^{3} (t) \frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.5.1

اجمع $\frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ و $8$ .

$\frac{8}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cos^{3} (t) \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

خطوة 3.8.5.2

اجمع $\frac{8}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ و $\cos^{3} (t)$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t)}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

خطوة 3.8.6

أعِد كتابة $\cot (\cos^{4} (t))$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{8 \cos^{3} (t)}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cdot \frac{\cos (\cos^{4} (t))}{\sin (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

خطوة 3.8.7

اجمع.

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{2} (\cos^{4} (t)) \sin (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

خطوة 3.8.8

اضرب $\sin^{2} (\cos^{4} (t))$ في $\sin (\cos^{4} (t))$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.8.1

اضرب $\sin^{2} (\cos^{4} (t))$ في $\sin (\cos^{4} (t))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.8.1.1

ارفع $\sin (\cos^{4} (t))$ إلى القوة $1$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{2} (\cos^{4} (t)) \sin^{1} (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

خطوة 3.8.8.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{{\sin (\cos^{4} (t))}^{2 + 1}} \sin (t)$

خطوة 3.8.8.2

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

خطوة 3.8.9

اجمع $\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$ و $\sin (t)$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

خطوة 3.8.10

اضرب في $1$ .

$\frac{8 (\cos^{3} (t) \cdot 1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

خطوة 3.8.11

اضرب في $1$ .

$\frac{8 (\cos^{3} (t) \cdot 1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t)) \cdot 1}$

خطوة 3.8.12

افصِل الكسور.

$\frac{8 \cdot (1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} \cdot \frac{\cos^{3} (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

خطوة 3.8.13

حوّل من $\frac{1}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$ إلى $\csc^{3} (\cos^{4} (t))$ .

$\frac{8 \cdot (1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} (\cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t)))$

خطوة 3.8.14

اضرب $8$ في $1$ .

$\frac{8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} (\cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t)))$

خطوة 3.8.15

اقسِم $8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)$ على $1$ .

$8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$