حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = e^{6 t \sin (2 t)}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{6 t \sin (2 t)})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = 6 t \sin (2 t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $6 t \sin (2 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [6 t \sin (2 t)]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [6 t \sin (2 t)]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $6 t \sin (2 t)$ .

$e^{6 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [6 t \sin (2 t)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $6 t \sin (2 t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $6 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$ .

$e^{6 t \sin (2 t)} (6 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)])$

خطوة 3.2.2

انقُل $6$ إلى يسار $e^{6 t \sin (2 t)}$ .

$6 \cdot e^{6 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = \sin (2 t)$ .

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t \frac{d}{d t} [\sin (2 t)] + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \sin (t)$ و $g (t) = 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 t$ .

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.4.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 t$ .

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \cdot 1)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.5.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \cdot 2) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.5.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 t)$ .

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (2 \cdot \cos (2 t)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t) \cdot 1)$

خطوة 3.5.5

اضرب $\sin (2 t)$ في $1$ .

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t))$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t))) + 6 e^{6 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $6$ .

$12 e^{6 t \sin (2 t)} t \cos (2 t) + 6 e^{6 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 12 e^{6 t \sin (2 t)} t \cos (2 t) + 6 e^{6 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 12 e^{6 t \sin (2 t)} t \cos (2 t) + 6 e^{6 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$