حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = t \sin (π t) + \frac{1}{π} \cdot \cos (π t) - \frac{1}{π}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \sin (π t) + \frac{1}{π} \cdot \cos (π t) - \frac{1}{π})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t \sin (π t) + \frac{1}{π} \cdot \cos (π t) - \frac{1}{π}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t \sin (π t)] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$ .

$\frac{d}{d t} [t \sin (π t)] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [t \sin (π t)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = \sin (π t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\sin (π t)] + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \sin (t)$ و $g (t) = π t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $π t$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [π t]) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.2.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$t (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [π t]) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $π t$ .

$t (\cos (π t) \frac{d}{d t} [π t]) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.2.3

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $π t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $π \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (\cos (π t) (π \frac{d}{d t} [t])) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$t (\cos (π t) (π \cdot 1)) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$t (\cos (π t) (π \cdot 1)) + \sin (π t) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.2.6

اضرب $π$ في $1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.2.7

اضرب $\sin (π t)$ في $1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $\frac{1}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{π} \frac{d}{d t} [\cos (π t)]$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} \frac{d}{d t} [\cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \cos (t)$ و $g (t) = π t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $π t$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [π t]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.3.2.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [π t]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $π t$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) \frac{d}{d t} [π t]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.3.3

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $π t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $π \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) (π \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) (π \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.3.5

اضرب $π$ في $1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) π) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.3.6

اجمع $\frac{1}{π}$ و $\sin (π t)$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \frac{\sin (π t)}{π} π + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.3.7

اجمع $π$ و $\frac{\sin (π t)}{π}$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \frac{π \sin (π t)}{π} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.3.8

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \frac{π \sin (π t)}{π} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.3.8.2

اقسِم $\sin (π t)$ على $1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \sin (π t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

خطوة 3.4

بما أن $- \frac{1}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- \frac{1}{π}$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \sin (π t) + 0$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

اطرح $\sin (π t)$ من $\sin (π t)$ .

$t (\cos (π t) π) + 0 + 0$

خطوة 3.5.1.2

أضف $t (\cos (π t) π)$ و $0$ .

$t (\cos (π t) π) + 0$

خطوة 3.5.1.3

أضف $t (\cos (π t) π)$ و $0$ .

$t (\cos (π t) π)$

خطوة 3.5.2

أعِد ترتيب عوامل $t (\cos (π t) π)$ .

$π t \cos (π t)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = π t \cos (π t)$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = π t \cos (π t)$