حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{a} \cdot (x^{2} + \frac{1}{b} \cdot x + c)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{a} \cdot (x^{2} + \frac{1}{b} \cdot x + c))$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اجمع $\frac{1}{b}$ و $x$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{a} \cdot (x^{2} + \frac{x}{b} + c)]$

خطوة 3.1.2

بما أن $\frac{1}{a}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{1}{a} (x^{2} + \frac{x}{b} + c)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{a} \frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{x}{b} + c]$ .

$\frac{1}{a} \frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{x}{b} + c]$

خطوة 3.1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + \frac{x}{b} + c$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{b}] + \frac{d}{d y} [c]$ .

$\frac{1}{a} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{b}] + \frac{d}{d y} [c])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{2}$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x$ .

$\frac{1}{a} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{b}] + \frac{d}{d y} [c])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{a} (2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{b}] + \frac{d}{d y} [c])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$\frac{1}{a} (2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{b}] + \frac{d}{d y} [c])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$\frac{1}{a} (2 x x' + \frac{d}{d y} [\frac{x}{b}] + \frac{d}{d y} [c])$

خطوة 3.4

بما أن $\frac{1}{b}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{x}{b}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{b} \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{1}{a} (2 x x' + \frac{1}{b} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [c])$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$\frac{1}{a} (2 x x' + \frac{1}{b} x' + \frac{d}{d y} [c])$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{1}{b}$ و $x'$ .

$\frac{1}{a} (2 x x' + \frac{x'}{b} + \frac{d}{d y} [c])$

خطوة 3.7

بما أن $c$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $c$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{1}{a} (2 x x' + \frac{x'}{b} + 0)$

خطوة 3.8

أضف $2 x x' + \frac{x'}{b}$ و $0$ .

$\frac{1}{a} (2 x x' + \frac{x'}{b})$

خطوة 3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{a} (2 x x') + \frac{1}{a} \cdot \frac{x'}{b}$

خطوة 3.9.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{a}$ .

$\frac{2}{a} (x x') + \frac{1}{a} \cdot \frac{x'}{b}$

خطوة 3.9.2.2

اجمع $x$ و $\frac{2}{a}$ .

$\frac{x \cdot 2}{a} x' + \frac{1}{a} \cdot \frac{x'}{b}$

خطوة 3.9.2.3

اجمع $\frac{x \cdot 2}{a}$ و $x'$ .

$\frac{x \cdot 2 x'}{a} + \frac{1}{a} \cdot \frac{x'}{b}$

خطوة 3.9.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 \cdot x x'}{a} + \frac{1}{a} \cdot \frac{x'}{b}$

خطوة 3.9.2.5

اضرب $\frac{1}{a}$ في $\frac{x'}{b}$ .

$\frac{2 x x'}{a} + \frac{x'}{a b}$

خطوة 3.9.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x'}{a b} + \frac{2 x x'}{a}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = \frac{x'}{a b} + \frac{2 x x'}{a}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{x'}{a b} + \frac{2 x x'}{a} = 1$ .

$\frac{x'}{a b} + \frac{2 x x'}{a} = 1$

خطوة 5.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$a b, a, 1$

خطوة 5.2.2

Since $a b, a, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $a^{1}, b^{1}, a^{1}$ .

خطوة 5.2.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 5.2.4

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 5.2.5

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 5.2.6

عامل $a^{1}$ هو $a$ نفسها.

$a^{1} = a$

تحدث $a$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 5.2.7

عامل $b^{1}$ هو $b$ نفسها.

$b^{1} = b$

تحدث $b$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 5.2.8

عامل $a^{1}$ هو $a$ نفسها.

$a^{1} = a$

تحدث $a$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 5.2.9

المضاعف المشترك الأصغر لـ $a^{1}, b^{1}, a^{1}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$a b$

خطوة 5.3

اضرب كل حد في $\frac{x'}{a b} + \frac{2 x x'}{a} = 1$ في $a b$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب كل حد في $\frac{x'}{a b} + \frac{2 x x'}{a} = 1$ في $a b$ .

$\frac{x'}{a b} (a b) + \frac{2 x x'}{a} (a b) = 1 (a b)$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $a b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x'}{a b} (a b) + \frac{2 x x'}{a} (a b) = 1 (a b)$

خطوة 5.3.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x' + \frac{2 x x'}{a} (a b) = 1 (a b)$

خطوة 5.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $a$ من $a b$ .

$x' + \frac{2 x x'}{a} (a (b)) = 1 (a b)$

خطوة 5.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x' + \frac{2 x x'}{a} (a b) = 1 (a b)$

خطوة 5.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x' + 2 x x' b = 1 (a b)$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اضرب $a b$ في $1$ .

$x' + 2 x x' b = a b$

خطوة 5.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $x'$ من $x' + 2 x x' b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

ارفع $x'$ إلى القوة $1$ .

$x' + 2 x x' b = a b$

خطوة 5.4.1.2

أخرِج العامل $x'$ من ${x'}^{1}$ .

$x' \cdot 1 + 2 x x' b = a b$

خطوة 5.4.1.3

أخرِج العامل $x'$ من $2 x x' b$ .

$x' \cdot 1 + x' (2 x b) = a b$

خطوة 5.4.1.4

أخرِج العامل $x'$ من $x' \cdot 1 + x' (2 x b)$ .

$x' (1 + 2 x b) = a b$

خطوة 5.4.2

اقسِم كل حد في $x' (1 + 2 x b) = a b$ على $1 + 2 x b$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

اقسِم كل حد في $x' (1 + 2 x b) = a b$ على $1 + 2 x b$ .

$\frac{x' (1 + 2 x b)}{1 + 2 x b} = \frac{a b}{1 + 2 x b}$

خطوة 5.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + 2 x b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (1 + 2 x b)}{1 + 2 x b} = \frac{a b}{1 + 2 x b}$

خطوة 5.4.2.2.1.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{a b}{1 + 2 x b}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{a b}{1 + 2 x b}$