حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{3 - \cos (x)}{6 + \cos (x)}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 - \cos (x)}{6 + \cos (x)})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 3 - \cos (x)$ و $g (x) = 6 + \cos (x)$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [3 - \cos (x)] - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) (- - \sin (x)) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) (1 \sin (x)) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.4.2

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.4.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.4.4

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.4.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.5

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) (- \sin (x))}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.6

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) + 1 (3 - \cos (x)) \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.6.2

اضرب $3 - \cos (x)$ في $1$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) + (3 - \cos (x)) \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + (3 - \cos (x)) \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + 3 \sin (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $6 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + 3 \sin (x) - \cos (x) \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1.1

اطرح $\cos (x) \sin (x)$ من $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{6 \sin (x) + 0 + 3 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.7.3.1.2

أضف $6 \sin (x)$ و $0$ .

$\frac{6 \sin (x) + 3 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.7.3.2

أضف $6 \sin (x)$ و $3 \sin (x)$ .

$\frac{9 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{9 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$