حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 1}^{1} 3^{2 x - 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 x - 1$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 1 - 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$u_{lower} = - 2 - 1$

خطوة 1.3.2

اطرح $1$ من $- 2$ .

$u_{lower} = - 3$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $2$ في $1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

خطوة 1.5.2

اطرح $1$ من $2$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 3}^{1} 3^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $3^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{1} \frac{3^{u}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{1} 3^{u} d u$

خطوة 4

تكامل $3^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{2} \frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$ .

$\frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}}{2}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ في $1$ وفي $- 3$ .

$\frac{(\frac{3^{1}}{\ln (3)}) - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)}}{2}$

خطوة 6.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}}{2}$

خطوة 6.2.4

أعِد كتابة $\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - (\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)})}{2}$

خطوة 6.2.5

اضرب $\frac{1}{27}$ في $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

خطوة 6.2.6

اضرب $\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$ في $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$\frac{\ln (3)}{\ln (3)} \cdot \frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

خطوة 6.2.7

اجمع.

$\frac{\ln (3) (\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

خطوة 6.2.8

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

خطوة 6.2.9

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

خطوة 6.2.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

خطوة 6.2.10

اجمع $\ln (3)$ و $\frac{1}{27 \ln (3)}$ .

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

خطوة 6.2.11

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.11.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

خطوة 6.2.11.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

خطوة 6.2.12

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{27}{27}$ .

$\frac{3 \cdot \frac{27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

خطوة 6.2.13

اجمع $3$ و $\frac{27}{27}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

خطوة 6.2.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{3 \cdot 27 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

خطوة 6.2.15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.15.1

اضرب $3$ في $27$ .

$\frac{\frac{81 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

خطوة 6.2.15.2

اطرح $1$ من $81$ .

$\frac{\frac{80}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

خطوة 6.2.16

انقُل $2$ إلى يسار $\ln (3)$ .

$\frac{\frac{80}{27}}{2 \cdot \ln (3)}$

خطوة 6.2.17

أعِد كتابة $\frac{\frac{80}{27}}{2 \ln (3)}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{80}{27} \cdot \frac{1}{2 \ln (3)}$

خطوة 6.2.18

اضرب $\frac{80}{27}$ في $\frac{1}{2 \ln (3)}$ .

$\frac{80}{27 (2 \ln (3))}$

خطوة 6.2.19

اضرب $2$ في $27$ .

$\frac{80}{54 \ln (3)}$

خطوة 6.2.20

احذِف العامل المشترك لـ $80$ و $54$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.20.1

أخرِج العامل $2$ من $80$ .

$\frac{2 (40)}{54 \ln (3)}$

خطوة 6.2.20.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.20.2.1

أخرِج العامل $2$ من $54 \ln (3)$ .

$\frac{2 (40)}{2 (27 \ln (3))}$

خطوة 6.2.20.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 40}{2 (27 \ln (3))}$

خطوة 6.2.20.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

الصيغة العشرية:

$1.34850255 \dots$

خطوة 8