حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \cot (x)$ و $g (x) = 1 + \csc (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.2

مشتق $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \csc (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.4

مشتق $\csc (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.5

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + 1 \cot (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.5.2

اضرب $\cot (x)$ في $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.6

ارفع $\cot (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{1} (x) \cot (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.7

ارفع $\cot (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.9

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

أخرِج العامل $\csc (x)$ من $1 (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1.1

أخرِج العامل $\csc (x)$ من $1 (- \csc^{2} (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2.1.2

أخرِج العامل $\csc (x)$ من $\cot^{2} (x) \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2.1.3

أخرِج العامل $\csc (x)$ من $\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2.1.4

أخرِج العامل $\csc (x)$ من $\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $\cot^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x)))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.6.1

اضرب $- \csc (x)$ في $1$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- \csc (x) \csc (x) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2.9

انقُل $- 1$ إلى يسار $\csc (x)$ .

$\frac{- \csc (x) \csc (x) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2.10

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.10.1

اضرب $- \csc (x) \csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.10.1.1

ارفع $\csc (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- (\csc^{1} (x) \csc (x)) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2.10.1.2

ارفع $\csc (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2.10.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- {\csc (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2.10.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.2.10.2

أعِد كتابة $- 1 \csc (x)$ بالصيغة $- \csc (x)$ .

$\frac{- \csc^{2} (x) - \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.3.1

أخرِج العامل $\csc (x)$ من $- \csc^{2} (x) - \csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.3.1.1

أخرِج العامل $\csc (x)$ من $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.3.1.2

أخرِج العامل $\csc (x)$ من $- \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.3.1.3

أخرِج العامل $\csc (x)$ من $\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \csc (x) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.3.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.3.2.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1 (1))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\csc (x)) - 1 (1)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x) + 1))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

$\frac{\csc (x) \cdot - 1 (\csc (x) + 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.3.3

أخرِج السالب.

$\frac{- \csc (x) (\csc (x) + 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.4

احذِف العامل المشترك لـ $\csc (x) + 1$ و ${(1 + \csc (x))}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- \csc (x) (1 + \csc (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.4.2

أخرِج العامل $1 + \csc (x)$ من $- \csc (x) (1 + \csc (x))$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

خطوة 3.10.4.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.4.3.1

أخرِج العامل $1 + \csc (x)$ من ${(1 + \csc (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

خطوة 3.10.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

خطوة 3.10.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

خطوة 3.10.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$