حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.5

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.6

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1.1

اضرب $- \sin (x)$ في $1$ .

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.2.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.2.1.3

اضرب $- \sin (x) \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1.3.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.2.1.3.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.2.1.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.2.1.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.2.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\frac{- \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- \sin (x) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- \sin (x) - 1$ و ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (x)$ .

$\frac{- (\sin (x)) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.3.1.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- (\sin (x)) - 1 (1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.3.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\sin (x)) - 1 (1)$ .

$\frac{- (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.3.1.4

أعِد كتابة $- (\sin (x) + 1)$ بالصيغة $- 1 (\sin (x) + 1)$ .

$\frac{- 1 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.3.1.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 1 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.3.1.6

أخرِج العامل $1 + \sin (x)$ من $- 1 (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3.9.3.1.7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.1.7.1

أخرِج العامل $1 + \sin (x)$ من ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

خطوة 3.9.3.1.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

خطوة 3.9.3.1.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{1 + \sin (x)}$

خطوة 3.9.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{1 + \sin (x)}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{1}{1 + \sin (x)}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{1 + \sin (x)}$