حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(8 + x^{5})}^{4} - {(6 + x^{7})}^{5}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(8 + x^{5})}^{4} - {(6 + x^{7})}^{5})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${(8 + x^{5})}^{4} - {(6 + x^{7})}^{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [{(8 + x^{5})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 + x^{5})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [{(8 + x^{5})}^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 8 + x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $8 + x^{5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [8 + x^{5}] + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [8 + x^{5}] + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $8 + x^{5}$ .

$4 {(8 + x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [8 + x^{5}] + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

خطوة 3.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 + x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 {(8 + x^{5})}^{3} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

خطوة 3.2.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 {(8 + x^{5})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$4 {(8 + x^{5})}^{3} (0 + 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

خطوة 3.2.5

أضف $0$ و $5 x^{4}$ .

$4 {(8 + x^{5})}^{3} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

خطوة 3.2.6

اضرب $5$ في $4$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- {(6 + x^{7})}^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [{(6 + x^{7})}^{5}]$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - \frac{d}{d x} [{(6 + x^{7})}^{5}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = 6 + x^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $6 + x^{7}$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [6 + x^{7}])$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [6 + x^{7}])$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $6 + x^{7}$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {(6 + x^{7})}^{4} \frac{d}{d x} [6 + x^{7}])$

خطوة 3.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 + x^{7}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {(6 + x^{7})}^{4} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x^{7}]))$

خطوة 3.3.4

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {(6 + x^{7})}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [x^{7}]))$

خطوة 3.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {(6 + x^{7})}^{4} (0 + 7 x^{6}))$

خطوة 3.3.6

أضف $0$ و $7 x^{6}$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {(6 + x^{7})}^{4} (7 x^{6}))$

خطوة 3.3.7

اضرب $7$ في $5$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (35 {(6 + x^{7})}^{4} x^{6})$

خطوة 3.3.8

اضرب $35$ في $- 1$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - 35 {(6 + x^{7})}^{4} x^{6}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $5 x^{4}$ من $20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - 35 {(6 + x^{7})}^{4} x^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $5 x^{4}$ من $20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4}$ .

$5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3}) - 35 {(6 + x^{7})}^{4} x^{6}$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $5 x^{4}$ من $- 35 {(6 + x^{7})}^{4} x^{6}$ .

$5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3}) + 5 x^{4} (- 7 {(6 + x^{7})}^{4} x^{2})$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $5 x^{4}$ من $5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3}) + 5 x^{4} (- 7 {(6 + x^{7})}^{4} x^{2})$ .

$5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3} - 7 {(6 + x^{7})}^{4} x^{2})$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3} - 7 {(6 + x^{7})}^{4} x^{2})$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3} - 7 {(6 + x^{7})}^{4} x^{2})$