حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (x) y + 5 x = 30$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\ln (x) y + 5 x) = \frac{d}{d x} (30)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\ln (x) y + 5 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\ln (x) y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = y$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\ln (x) y' + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 2.2.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) y' + y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 2.2.4

اجمع $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $5$ في $1$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5$

خطوة 3

بما أن $30$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $30$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5$ .

$y' \ln (x) + \frac{y}{x} + 5 = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $\frac{y}{x}$ من كلا المتعادلين.

$y' \ln (x) + 5 = - \frac{y}{x}$

خطوة 5.2.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$ على $\ln (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$ على $\ln (x)$ .

$\frac{y' \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y' = - \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

خطوة 5.3.3.1.2

اضرب $\frac{1}{\ln (x)}$ في $\frac{y}{x}$ .

$y' = - \frac{y}{\ln (x) x} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

خطوة 5.3.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y}{\ln (x) x} - \frac{5}{\ln (x)}$

خطوة 5.3.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{y}{\ln (x) x} - \frac{5}{\ln (x)}$ .

$y' = - \frac{y}{x \ln (x)} - \frac{5}{\ln (x)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x \ln (x)} - \frac{5}{\ln (x)}$