حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (x y) = e^{2 x}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

خطوة 2.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

خطوة 2.6.2.2

اجمع $\frac{x}{x y}$ و $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

خطوة 2.6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

خطوة 2.6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

خطوة 2.6.2.4

اجمع $\frac{1}{x y}$ و $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

خطوة 2.6.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

خطوة 2.6.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

خطوة 3.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

خطوة 3.2.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 2 e^{2 x}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $\frac{1}{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y'}{y} = 2 e^{2 x} - \frac{1}{x}$

خطوة 5.2

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y'}{y} y = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

خطوة 5.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط $(2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = 2 e^{2 x} y - \frac{1}{x} y$

خطوة 5.3.2.1.2

اجمع $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$y' = 2 e^{2 x} y - \frac{y}{x}$

خطوة 5.3.2.1.3

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{2 x} y - \frac{y}{x}$ .

$y' = 2 y e^{2 x} - \frac{y}{x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 y e^{2 x} - \frac{y}{x}$