حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (x y) + 8 x = 45$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y) + 8 x) = \frac{d}{d x} (45)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\ln (x y) + 8 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 2.2.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 2.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 8 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 8 \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $8$ في $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 8$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y + 8$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y + 8$

خطوة 2.4.2.2

اجمع $\frac{x}{x y}$ و $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 8$

خطوة 2.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 8$

خطوة 2.4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y + 8$

خطوة 2.4.2.4

اجمع $\frac{1}{x y}$ و $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 8$

خطوة 2.4.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 8$

خطوة 2.4.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 8$

خطوة 3

بما أن $45$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $45$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 8 = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $\frac{1}{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y'}{y} + 8 = - \frac{1}{x}$

خطوة 5.1.2

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y'}{y} = - \frac{1}{x} - 8$

خطوة 5.2

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 8) y$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 8) y$

خطوة 5.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = (- \frac{1}{x} - 8) y$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط $(- \frac{1}{x} - 8) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = - \frac{1}{x} y - 8 y$

خطوة 5.3.2.1.2

اجمع $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$y' = - \frac{y}{x} - 8 y$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - 8 y$