حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \sin (y) + \cos (2 y) = \cos (y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x \sin (y) + \cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (\cos (y))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x \sin (y) + \cos (2 y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \sin (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

خطوة 2.2.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

خطوة 2.2.5

اضرب $\sin (y)$ في $1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 y$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 2.3.1.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 y$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) - \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 2.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) - \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) - \sin (2 y) (2 y')$

خطوة 2.3.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) - 2 \sin (2 y) y'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$x \cos (y) y' - 2 \sin (2 y) y' + \sin (y)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- \sin (y) y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x \cos (y) y' - 2 \sin (2 y) y' + \sin (y) = - \sin (y) y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $x \cos (y) y' - 2 \sin (2 y) y' + \sin (y)$ .

$x y' \cos (y) - 2 y' \sin (2 y) + \sin (y) = - \sin (y) y'$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $- \sin (y) y'$ .

$x y' \cos (y) - 2 y' \sin (2 y) + \sin (y) = - y' \sin (y)$

خطوة 5.3

أضف $y' \sin (y)$ إلى كلا المتعادلين.

$x y' \cos (y) - 2 y' \sin (2 y) + \sin (y) + y' \sin (y) = 0$

خطوة 5.4

اطرح $\sin (y)$ من كلا المتعادلين.

$x y' \cos (y) - 2 y' \sin (2 y) + y' \sin (y) = - \sin (y)$

خطوة 5.5

أخرِج العامل $y'$ من $x y' \cos (y) - 2 y' \sin (2 y) + y' \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $y'$ من $x y' \cos (y)$ .

$y' (x \cos (y)) - 2 y' \sin (2 y) + y' (\sin (y)) = - \sin (y)$

خطوة 5.5.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y' \sin (2 y)$ .

$y' (x \cos (y)) + y' (- 2 \sin (2 y)) + y' (\sin (y)) = - \sin (y)$

خطوة 5.5.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' \sin (y)$ .

$y' (x \cos (y)) + y' (- 2 \sin (2 y)) + y' (\sin (y)) = - \sin (y)$

خطوة 5.5.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x \cos (y)) + y' (- 2 \sin (2 y))$ .

$y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y)) + y' (\sin (y)) = - \sin (y)$

خطوة 5.5.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y)) + y' (\sin (y))$ .

$y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)) = - \sin (y)$

خطوة 5.6

اقسِم كل حد في $y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)) = - \sin (y)$ على $x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اقسِم كل حد في $y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)) = - \sin (y)$ على $x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)$ .

$\frac{y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y))}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)} = \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y))}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)} = \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)}$

خطوة 5.6.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)}$

خطوة 5.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\sin (y)}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin (y)}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)}$