حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y = e^{x y - 1}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (e^{x y - 1})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $y$ في $1$ .

$x y' + y$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y - 1]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y - 1]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y - 1$ .

$e^{x y - 1} \frac{d}{d x} [x y - 1]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x y - 1} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 3.3

$e^{x y - 1} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 3.6

اضرب $y$ في $1$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 3.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y + 0)$

خطوة 3.8

أضف $x y' + y$ و $0$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x y' + y = e^{x y - 1} (x y' + y)$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $e^{x y - 1} (x y' + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد الكتابة.

$x y' + y = 0 + 0 + e^{x y - 1} (x y' + y)$

خطوة 5.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$x y' + y = e^{x y - 1} (x y' + y)$

خطوة 5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x y' + y = e^{x y - 1} (x y') + e^{x y - 1} y$

خطوة 5.1.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x y - 1} (x y') + e^{x y - 1} y$ .

$x y' + y = x y' e^{x y - 1} + y e^{x y - 1}$

خطوة 5.2

اطرح $x y' e^{x y - 1}$ من كلا المتعادلين.

$x y' + y - x y' e^{x y - 1} = y e^{x y - 1}$

خطوة 5.3

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$x y' - x y' e^{x y - 1} = y e^{x y - 1} - y$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $x y'$ من $x y' - x y' e^{x y - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $x y'$ من $x y'$ .

$x y' \cdot 1 - x y' e^{x y - 1} = y e^{x y - 1} - y$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $x y'$ من $- x y' e^{x y - 1}$ .

$x y' \cdot 1 + x y' (- 1 e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $x y'$ من $x y' \cdot 1 + x y' (- 1 e^{x y - 1})$ .

$x y' (1 - 1 e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$

خطوة 5.5

أعِد كتابة $- 1 e^{x y - 1}$ بالصيغة $- e^{x y - 1}$ .

$x y' (1 - e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$

خطوة 5.6

اقسِم كل حد في $x y' (1 - e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$ على $x (1 - e^{x y - 1})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اقسِم كل حد في $x y' (1 - e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$ على $x (1 - e^{x y - 1})$ .

$\frac{x y' (1 - e^{x y - 1})}{x (1 - e^{x y - 1})} = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' (1 - e^{x y - 1})}{x (1 - e^{x y - 1})} = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

خطوة 5.6.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (1 - e^{x y - 1})}{1 - e^{x y - 1}} = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

خطوة 5.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - e^{x y - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (1 - e^{x y - 1})}{1 - e^{x y - 1}} = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

خطوة 5.6.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

خطوة 5.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{y e^{x y - 1} - y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

خطوة 5.6.3.2

أخرِج العامل $y$ من $y e^{x y - 1} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y e^{x y - 1}$ .

$y' = \frac{y (e^{x y - 1}) - y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

خطوة 5.6.3.2.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y' = \frac{y (e^{x y - 1}) + y \cdot - 1}{x (1 - e^{x y - 1})}$

خطوة 5.6.3.2.3

أخرِج العامل $y$ من $y (e^{x y - 1}) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (e^{x y - 1} - 1)}{x (1 - e^{x y - 1})}$

خطوة 5.6.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $e^{x y - 1} - 1$ و $1 - e^{x y - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $e^{x y - 1}$ .

$y' = \frac{y (- 1 (- e^{x y - 1}) - 1)}{x (1 - e^{x y - 1})}$

خطوة 5.6.3.3.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (- e^{x y - 1}) - 1 (1))}{x (1 - e^{x y - 1})}$

خطوة 5.6.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- e^{x y - 1}) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (- e^{x y - 1} + 1))}{x (1 - e^{x y - 1})}$

خطوة 5.6.3.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$y' = \frac{y (- 1 (1 - e^{x y - 1}))}{x (1 - e^{x y - 1})}$

خطوة 5.6.3.3.5

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{y (- 1 (1 - e^{x y - 1}))}{x (1 - e^{x y - 1})}$

خطوة 5.6.3.3.6

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

خطوة 5.6.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.4.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

خطوة 5.6.3.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y}{x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$