حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y = \sin (x + y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (\sin (x + y))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $y$ في $1$ .

$x y' + y$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x y' + y = \cos (x + y) (1 + y')$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بسّط $\cos (x + y) (1 + y')$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

أعِد الكتابة.

$x y' + y = 0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y')$

خطوة 5.1.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$x y' + y = \cos (x + y) (1 + y')$

خطوة 5.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x y' + y = \cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y'$

خطوة 5.1.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.4.1

اضرب $\cos (x + y)$ في $1$ .

$x y' + y = \cos (x + y) + \cos (x + y) y'$

خطوة 5.1.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$x y' + y = \cos (x + y) + y' \cos (x + y)$

خطوة 5.2

اطرح $y' \cos (x + y)$ من كلا المتعادلين.

$x y' + y - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

خطوة 5.3

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$x y' - y' \cos (x + y) = \cos (x + y) - y$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $x y' - y' \cos (x + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $x y'$ .

$y' x - y' \cos (x + y) = \cos (x + y) - y$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $- y' \cos (x + y)$ .

$y' (x) + y' (- 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x) + y' (- 1 \cos (x + y))$ .

$y' (x - 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$

خطوة 5.5

أعِد كتابة $- 1 \cos (x + y)$ بالصيغة $- \cos (x + y)$ .

$y' (x - \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$

خطوة 5.6

اقسِم كل حد في $y' (x - \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$ على $x - \cos (x + y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اقسِم كل حد في $y' (x - \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$ على $x - \cos (x + y)$ .

$\frac{y' (x - \cos (x + y))}{x - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{x - \cos (x + y)} + \frac{- y}{x - \cos (x + y)}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - \cos (x + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x - \cos (x + y))}{x - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{x - \cos (x + y)} + \frac{- y}{x - \cos (x + y)}$

خطوة 5.6.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{\cos (x + y)}{x - \cos (x + y)} + \frac{- y}{x - \cos (x + y)}$

خطوة 5.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{\cos (x + y)}{x - \cos (x + y)} - \frac{y}{x - \cos (x + y)}$

خطوة 5.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{\cos (x + y) - y}{x - \cos (x + y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x + y) - y}{x - \cos (x + y)}$