حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y + x \cos (y) = x^{2} y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y + x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (x^{2} y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + x \cos (y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \cos (y)$ .

$y' + x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$y' + x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$y' + x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$y' + x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y' + x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y' + x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

خطوة 2.3.5

اضرب $\cos (y)$ في $1$ .

$y' + x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- x \sin (y) y' + y' + \cos (y)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

خطوة 3.4

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$x^{2} y' + 2 \cdot y x$

خطوة 3.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{2} y' + 2 x y$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- x \sin (y) y' + y' + \cos (y) = x^{2} y' + 2 x y$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- x \sin (y) y' + y' + \cos (y)$ .

$- x y' \sin (y) + y' + \cos (y) = x^{2} y' + 2 x y$

خطوة 5.2

اطرح $x^{2} y'$ من كلا المتعادلين.

$- x y' \sin (y) + y' + \cos (y) - x^{2} y' = 2 x y$

خطوة 5.3

اطرح $\cos (y)$ من كلا المتعادلين.

$- x y' \sin (y) + y' - x^{2} y' = 2 x y - \cos (y)$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $- x y' \sin (y) + y' - x^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $- x y' \sin (y)$ .

$y' (- x \sin (y)) + y' - x^{2} y' = 2 x y - \cos (y)$

خطوة 5.4.2

ارفع $y'$ إلى القوة $1$ .

$y' (- x \sin (y)) + y' - x^{2} y' = 2 x y - \cos (y)$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' (- x \sin (y)) + y' \cdot 1 - x^{2} y' = 2 x y - \cos (y)$

خطوة 5.4.4

أخرِج العامل $y'$ من $- x^{2} y'$ .

$y' (- x \sin (y)) + y' \cdot 1 + y' (- x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$

خطوة 5.4.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- x \sin (y)) + y' \cdot 1$ .

$y' (- x \sin (y) + 1) + y' (- x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$

خطوة 5.4.6

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- x \sin (y) + 1) + y' (- x^{2})$ .

$y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$ على $- x \sin (y) + 1 - x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$ على $- x \sin (y) + 1 - x^{2}$ .

$\frac{y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2})}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} = \frac{2 x y}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- x \sin (y) + 1 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2})}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} = \frac{2 x y}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{2 x y}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} - \frac{\cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x \sin (y)$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y)) + 1 - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.4

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y)) - 1 (- 1) - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x \sin (y)) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y) - 1) - x^{2}}$

خطوة 5.5.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y) - 1) - (x^{2})}$

خطوة 5.5.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x \sin (y) - 1) - (x^{2})$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y) - 1 + x^{2})}$

خطوة 5.5.3.8

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.8.1

أعِد كتابة $- (x \sin (y) - 1 + x^{2})$ بالصيغة $- 1 (x \sin (y) - 1 + x^{2})$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- 1 (x \sin (y) - 1 + x^{2})}$

خطوة 5.5.3.8.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x y - \cos (y)}{x \sin (y) - 1 + x^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y - \cos (y)}{x \sin (y) - 1 + x^{2}}$