حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{8} \ln (x - \frac{1}{5} x^{5})$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{8} \ln (x - \frac{1}{5} x^{5}))$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $x^{5}$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{8}$ و $g (x) = \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x - \frac{x^{5}}{5})] + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x - \frac{x^{5}}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - \frac{x^{5}}{5}$ .

$x^{8} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 3.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$x^{8} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - \frac{x^{5}}{5}$ .

$x^{8} (\frac{1}{x - \frac{x^{5}}{5}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اجمع $\frac{1}{x - \frac{x^{5}}{5}}$ و $x^{8}$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}] + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 3.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - \frac{x^{5}}{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{5}]$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 3.4.4

بما أن $- \frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x^{5}}{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 3.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - \frac{1}{5} (5 x^{4})) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 3.4.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - 5 (\frac{1}{5}) x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 3.4.6.2

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{- 5}{5} x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 3.4.6.3

اجمع $\frac{- 5}{5}$ و $x^{4}$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{- 5 x^{4}}{5}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 3.4.6.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 5$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.4.1

أخرِج العامل $5$ من $- 5 x^{4}$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{5 (- x^{4})}{5}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 3.4.6.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.4.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{5 (- x^{4})}{5 (1)}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 3.4.6.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 3.4.6.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{- x^{4}}{1}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 3.4.6.4.2.4

اقسِم $- x^{4}$ على $1$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 3.4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) (8 x^{7})$

خطوة 3.4.8

أعِد ترتيب الحدود.

$(1 - x^{4}) \frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} + 8 x^{7} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = (1 - x^{4}) (\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}}) + 8 x^{7} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 - x^{4}) (\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}}) + 8 x^{7} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$