حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{5 x^{2} - 9 x + 13}{2 x + 4}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x^{2} - 9 x + 13}{2 x + 4})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 5 x^{2} - 9 x + 13$ و $g (x) = 2 x + 4$ .

$\frac{(2 x + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 9 x + 13] - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{2} - 9 x + 13$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$\frac{(2 x + 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 x + 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(2 x + 4) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.5

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.7

اضرب $- 9$ في $1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.8

بما أن $13$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $13$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 + 0) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.9

أضف $10 x - 9$ و $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.11

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.13

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) (2 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.14

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) (2 + 0)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.15

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.15.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \cdot 2}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.15.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - 2 (5 x^{2} - 9 x + 13)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

وسّع $(2 x + 4) (10 x - 9)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x (10 x - 9) + 4 (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x (10 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x (10 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 \cdot 10 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 \cdot 10 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 \cdot 10 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.2.1.3

اضرب $2$ في $10$ .

$\frac{20 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.2.1.4

اضرب $- 9$ في $2$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.2.1.5

اضرب $10$ في $4$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 40 x + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.2.1.6

اضرب $4$ في $- 9$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 40 x - 36 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.2.2

أضف $- 18 x$ و $40 x$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.3

اضرب $5$ في $- 2$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.4

اضرب $- 9$ في $- 2$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} + 18 x - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.5

اضرب $- 2$ في $13$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} + 18 x - 26}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $10 x^{2}$ من $20 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} + 22 x - 36 + 18 x - 26}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.3

أضف $22 x$ و $18 x$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x - 36 - 26}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.4

اطرح $26$ من $- 36$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x - 62}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

أخرِج العامل $2$ من $10 x^{2} + 40 x - 62$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $10 x^{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 40 x - 62}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.2

أخرِج العامل $2$ من $40 x$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 (20 x) - 62}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.3

أخرِج العامل $2$ من $- 62$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 (20 x) + 2 (- 31)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (5 x^{2}) + 2 (20 x)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x) + 2 (- 31)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (5 x^{2} + 20 x) + 2 (- 31)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{{(2 (x) + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{{(2 x + 2 \cdot 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{{(2 (x + 2))}^{2}}$

خطوة 3.3.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 (x + 2)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{2^{2} {(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{4 {(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4 {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

خطوة 3.3.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

خطوة 3.3.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 x^{2} + 20 x - 31}{2 {(x + 2)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{5 x^{2} + 20 x - 31}{2 {(x + 2)}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2} + 20 x - 31}{2 {(x + 2)}^{2}}$