حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{4 x} + e^{- x}$

خطوة 1

اكتب $e^{4 x} + e^{- x}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{4 x} + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.1.2.4

اضرب $4$ في $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.1.2.5

انقُل $4$ إلى يسار $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.1.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 2.1.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

خطوة 2.1.3.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

خطوة 2.1.3.6

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 e^{4 x} - e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

خطوة 3.2

انقُل $- e^{- x}$ إلى المتعادل الأيمن بإضافتها إلى كلا الطرفين.

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

خطوة 3.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

خطوة 3.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة $\ln (4 e^{4 x})$ بالصيغة $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

خطوة 3.4.2

وسّع $\ln (e^{4 x})$ بنقل $4 x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

خطوة 3.4.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

خطوة 3.4.4

اضرب $4$ في $1$ .

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

خطوة 3.5

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

وسّع $\ln (e^{- x})$ بنقل $- x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

خطوة 3.5.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

خطوة 3.5.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x$

خطوة 3.6

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

خطوة 3.6.2

أضف $4 x$ و $x$ .

$\ln (4) + 5 x = 0$

خطوة 3.7

اطرح $\ln (4)$ من كلا المتعادلين.

$5 x = - \ln (4)$

خطوة 3.8

اقسِم كل حد في $5 x = - \ln (4)$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

اقسِم كل حد في $5 x = - \ln (4)$ على $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

خطوة 3.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

خطوة 3.8.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

خطوة 3.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $- \frac{\ln (4)}{5}$ .

$- \frac{\ln (4)}{5}$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ هو $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.27725887$ في العبارة.

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{4 (- 1.27725887)} - e^{- (- 1.27725887)}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $4$ في $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{- 5.10903548} - e^{- (- 1.27725887)}$

خطوة 6.2.1.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 (\frac{1}{e^{5.10903548}}) - e^{- (- 1.27725887)}$

خطوة 6.2.1.3

اجمع $4$ و $\frac{1}{e^{5.10903548}}$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{- (- 1.27725887)}$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

خطوة 6.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$ .

$\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

خطوة 6.3

بسّط.

$- 3.56262674$

خطوة 6.4

المشتق في $x = - 1.27725887$ هو $- 3.56262674$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ .

تناقص خلال $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.72274112$ في العبارة.

$f' (0.72274112) = 4 e^{4 (0.72274112)} - e^{- (0.72274112)}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اضرب $4$ في $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- (0.72274112)}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 1$ في $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- 0.72274112}$

خطوة 7.2.1.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

خطوة 7.2.2

الإجابة النهائية هي $4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$ .

$4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

خطوة 7.3

بسّط.

$71.55727104$

خطوة 7.4

المشتق في $x = 0.72274112$ هو $71.55727104$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ .

تزايد خلال $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$

خطوة 9