حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \arctan (\ln (5 x + 5))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = \ln (5 x + 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\ln (5 x + 5)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (5 x + 5)]$

خطوة 1.2

مشتق $\arctan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (5 x + 5)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln (5 x + 5)$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x + 5)} \frac{d}{d x} [\ln (5 x + 5)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 5 x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $5 x + 5$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x + 5)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x + 5])$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x + 5)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 5])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 x + 5$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x + 5)} (\frac{1}{5 x + 5} \frac{d}{d x} [5 x + 5])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{5 x + 5}$ في $\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x + 5)}$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} \frac{d}{d x} [5 x + 5]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 3.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 3.5

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} (5 + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 3.6

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} (5 + 0)$

خطوة 3.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أضف $5$ و $0$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} \cdot 5$

خطوة 3.7.2

اجمع $\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))}$ و $5$ .

$\frac{5}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))}$

خطوة 3.7.3

احذِف العامل المشترك لـ $5$ و $5 x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{5 \cdot 1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))}$

خطوة 3.7.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 ((x + 1) (1 + \ln^{2} (5 x + 5)))}$

خطوة 3.7.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \cdot 1}{5 ((x + 1) (1 + \ln^{2} (5 x + 5)))}$

خطوة 3.7.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{(x + 1) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))}$

خطوة 3.7.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{(1 + \ln^{2} (5 x + 5)) (x + 1)}$