حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x \arctan (\frac{1}{x})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \arctan (\frac{1}{x})$ .

$x \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ و $x$ .

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2}) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.4

اجمع $\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ و $x^{- 2}$ .

$- \frac{x \cdot x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4

اضرب $x$ في $x^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $x$ في $x^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{x^{1} x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{x^{1 - 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- \frac{x^{- 1}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5

انقُل $x^{- 1}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x}) \cdot 1$

خطوة 7

اضرب $\arctan (\frac{1}{x})$ في $1$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x})$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x} + \arctan (\frac{1}{x})$

خطوة 8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{1 x + \frac{1^{2}}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

خطوة 8.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اضرب $x$ في $1$ .

$- \frac{1}{x + \frac{1^{2}}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

خطوة 8.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

خطوة 8.3.3

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $x$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

خطوة 8.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x^{1}}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

خطوة 8.3.4.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

خطوة 8.3.4.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

خطوة 8.3.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

خطوة 8.3.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

خطوة 8.3.5

لكتابة $\arctan (\frac{1}{x})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + \frac{1}{x}}{x + \frac{1}{x}}$ .

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x}} + \frac{\arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})}{x + \frac{1}{x}}$

خطوة 8.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 + \arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})}{x + \frac{1}{x}}$

خطوة 8.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) - 1}{x + \frac{1}{x}}$