حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{2} - 2 a x + a^{2}}{x - a}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 2 a x + a^{2}$ و $g (x) = x - a$ .

$\frac{(x - a) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 a x + a^{2}] - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 a x + a^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]$ .

$\frac{(x - a) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x - a) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 a x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 2 a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 a x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.6

بما أن $a^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $a^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a + 0) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.7

أضف $2 x - 2 a$ و $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - a$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a])}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- a])}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.10

بما أن $- a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- a$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) (1 + 0)}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \cdot 1}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.11.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2})}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

وسّع $(x - a) (2 x - 2 a)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x - 2 a) - a (2 x - 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x (- 2 a) - a (2 x - 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x \cdot x + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 1 \cdot 2 a x - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - 1 \cdot - 2 a \cdot a - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.7

اضرب $a$ في $a$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1.7.1

انقُل $a$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - 1 \cdot - 2 (a \cdot a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.7.2

اضرب $a$ في $a$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - 1 \cdot - 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.8

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x + 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2

اطرح $2 a x$ من $- 2 x a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 a x - 2 a x + 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2.2

اطرح $2 a x$ من $- 2 a x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 a x + 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 a x + 2 a^{2} - x^{2} + 2 a x - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 a x + 2 a^{2} + 2 a x - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

أضف $- 4 a x$ و $2 a x$ .

$\frac{x^{2} + 2 a^{2} - 2 a x - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

اطرح $a^{2}$ من $2 a^{2}$ .

$\frac{x^{2} + a^{2} - 2 a x}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{a^{2} + x^{2} - 2 a x}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{a^{2} - 2 a x + x^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 a x = 2 \cdot a \cdot x$

خطوة 3.4.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot x + x^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.4.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = a$ و $b = x$ .

$\frac{{(a - x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.5

احذِف العامل المشترك لـ ${(a - x)}^{2}$ و ${(- a + x)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $- 1$ من $a$ .

$\frac{{(- 1 (- a) - x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{{(- 1 (- a) - (x))}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.5.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- a) - (x)$ .

$\frac{{(- 1 (- a + x))}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.5.4

طبّق قاعدة الضرب على $- 1 (- a + x)$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.5.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1 {(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.5.6

اضرب ${(- a + x)}^{2}$ في $1$ .

$\frac{{(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.5.7

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.5.8

أعِد كتابة العبارة.

$1$