حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (7 \sqrt{x} + 6) x^{2}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 7 x^{\frac{1}{2}} + 6$ و $g (x) = x^{2}$ .

$(7 x^{\frac{1}{2}} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}} + 6]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(7 x^{\frac{1}{2}} + 6) (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}} + 6]$

خطوة 3.2

انقُل $2$ إلى يسار $7 x^{\frac{1}{2}} + 6$ .

$2 \cdot (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}} + 6]$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x^{\frac{1}{2}} + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 3.4

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 8.3

اجمع $7$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (\frac{7 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 8.4

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 9

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

خطوة 10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أضف $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ و $0$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{x^{2} \cdot 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

انقُل $7$ إلى يسار $x^{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.3.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 11

اضرب $x^{2}$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

خطوة 11.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2}$

خطوة 11.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

خطوة 11.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2}$

خطوة 11.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2}$

خطوة 11.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2}$

خطوة 11.6.2

أضف $- 1$ و $4$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 12

جمّع $2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x$ و $\frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل $7 x^{\frac{1}{2}} + 6$ .

$2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 12.2

لكتابة $2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 12.3

اجمع $2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) \cdot 2}{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 12.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) \cdot 2 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 13

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x (7 x^{\frac{1}{2}}) + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 14.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{4 \cdot 7 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 14.2.1.2

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.2.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 7 (x^{\frac{1}{2}} x) + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 14.2.1.2.2

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 \cdot 7 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 14.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 \cdot 7 x^{\frac{1}{2} + 1} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 14.2.1.2.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{4 \cdot 7 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 14.2.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 \cdot 7 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 14.2.1.2.5

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{4 \cdot 7 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 14.2.1.3

اضرب $4$ في $7$ .

$\frac{28 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 14.2.1.4

اضرب $6$ في $4$ .

$\frac{28 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 14.2.2

أضف $28 x^{\frac{3}{2}}$ و $7 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{24 x + 35 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 14.3

أخرِج العامل $x$ من $24 x + 35 x^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

أخرِج العامل $x$ من $24 x$ .

$\frac{x \cdot 24 + 35 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 14.3.2

أخرِج العامل $x$ من $35 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 24 + x (35 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

خطوة 14.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 24 + x (35 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x (24 + 35 x^{\frac{1}{2}})}{2}$