حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{3} - 2}{\sec (4 x^{2})}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{3} - 2$ و $g (x) = \sec (4 x^{2})$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

خطوة 2.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

خطوة 2.4

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = 4 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x^{2}$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

خطوة 3.2

مشتق $\sec (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec (u) \tan (u)$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x^{2}$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\sec (4 x^{2}) \tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

خطوة 4

أخرِج العامل $\sec (4 x^{2})$ من $\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\sec (4 x^{2}) \tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $\sec (4 x^{2})$ من $- (x^{3} - 2) (\sec (4 x^{2}) \tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) + \sec (4 x^{2}) (- (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

خطوة 4.2

أخرِج العامل $\sec (4 x^{2})$ من $\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) + \sec (4 x^{2}) (- (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

خطوة 5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $\sec (4 x^{2})$ من $\sec^{2} (4 x^{2})$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec (4 x^{2}) \sec (4 x^{2})}$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec (4 x^{2}) \sec (4 x^{2})}$

خطوة 5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec (4 x^{2})}$

خطوة 6

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{\sec (4 x^{2})}$

خطوة 7

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}]))}{\sec (4 x^{2})}$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (2 x))}{\sec (4 x^{2})}$

خطوة 9

اضرب $2$ في $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (x))}{\sec (4 x^{2})}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x^{2} + (- 8 x^{3} - 8 \cdot - 2) (\tan (4 x^{2}) (x))}{\sec (4 x^{2})}$

خطوة 10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{3} (\tan (4 x^{2}) x) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

خطوة 10.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.1

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 (x \cdot x^{3}) \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

خطوة 10.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 (x^{1} x^{3}) \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

خطوة 10.3.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{1 + 3} \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

خطوة 10.3.1.1.3

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

خطوة 10.3.1.2

اضرب $- 8$ في $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) + 16 \tan (4 x^{2}) x}{\sec (4 x^{2})}$

خطوة 10.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) + 16 \tan (4 x^{2}) x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) + 16 x \tan (4 x^{2})}{\sec (4 x^{2})}$