حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{500}{12 + 4 e^{- 0.5 x}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف العامل المشترك لـ $500$ و $12 + 4 e^{- 0.5 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $500$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{12 + 4 e^{- 0.5 x}}]$

خطوة 1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3) + 4 e^{- 0.5 x}}]$

خطوة 1.1.2.2

أخرِج العامل $4$ من $4 e^{- 0.5 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3) + 4 (e^{- 0.5 x})}]$

خطوة 1.1.2.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (3) + 4 (e^{- 0.5 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3 + e^{- 0.5 x})}]$

خطوة 1.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3 + e^{- 0.5 x})}]$

خطوة 1.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d}{d x} [\frac{125}{3 + e^{- 0.5 x}}]$

خطوة 1.2

بما أن $125$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{125}{3 + e^{- 0.5 x}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}]$ .

$125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}]$

خطوة 1.3

أعِد كتابة $\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}$ بالصيغة ${(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 1}$ .

$125 \frac{d}{d x} [{(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = 3 + e^{- 0.5 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 + e^{- 0.5 x}$ .

$125 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$125 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 + e^{- 0.5 x}$ .

$125 (- {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $- 1$ في $125$ .

$- 125 ({(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 + e^{- 0.5 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

خطوة 3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

خطوة 3.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 0.5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- 0.5 x$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 0.5 x$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 0.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 0.5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5.2

اضرب $- 0.5$ في $- 125$ .

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} \cdot 1)$

خطوة 5.4

اضرب $e^{- 0.5 x}$ في $1$ .

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} e^{- 0.5 x}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد ترتيب عوامل $62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} e^{- 0.5 x}$ .

$62.5 e^{- 0.5 x} {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$62.5 e^{- 0.5 x} \frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$

خطوة 6.3

اضرب $62.5 e^{- 0.5 x} \frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اجمع $\frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ و $62.5$ .

$\frac{62.5}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}} e^{- 0.5 x}$

خطوة 6.3.2

اجمع $\frac{62.5}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ و $e^{- 0.5 x}$ .

$\frac{62.5 e^{- 0.5 x}}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$