حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{\frac{1}{x}}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{x}})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة $x^{\frac{1}{x}}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}]$

خطوة 3.1.2

وسّع $\ln (x^{\frac{1}{x}})$ بنقل $\frac{1}{x}$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (x)}]$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (x)}{x}}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.5

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.6.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 3.6.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

خطوة 3.6.4.2

اجمع $e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ و $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} \cdot 1 + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

خطوة 3.7.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

اضرب $e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ في $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

خطوة 3.7.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} - e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

خطوة 3.7.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x) + e^{\frac{\ln (x)}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{- e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x) + e^{\frac{\ln (x)}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x) + e^{\frac{\ln (x)}{x}}}{x^{2}}$