حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{\sec (4 x)}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\sec (4 x)}$ في صورة ${\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = \sec (4 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sec (4 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sec (4 x)$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

خطوة 4.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

خطوة 4.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

خطوة 4.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

خطوة 4.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

خطوة 4.6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

خطوة 4.6.3

انقُل ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $4 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 4.7.2

مشتق $\sec (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 4.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 4.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

اجمع $\sec (4 x)$ و $\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec (4 x)}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 4.8.2

اجمع $\tan (4 x)$ و $\frac{\sec (4 x)}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\tan (4 x) \sec (4 x)}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 4.8.3

انقُل ${\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\tan (4 x) \sec (4 x) {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 4.9

اضرب $\sec (4 x)$ في ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

انقُل ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\tan (4 x) ({\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec (4 x))}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 4.9.2

اضرب ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ في $\sec (4 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.1

ارفع $\sec (4 x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\tan (4 x) ({\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (4 x))}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 4.9.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 4.9.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 4.9.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 4.9.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 4.10

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.11

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

اجمع $4$ و $\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.11.2

أخرِج العامل $2$ من $4 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.12.4

اقسِم $2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

خطوة 4.14

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

اضرب $2$ في $1$ .

$2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.14.2

أعِد ترتيب عوامل $2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (4 x)$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (4 x)$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (4 x)$