حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{\sin^{2} (3 x) + x}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\sin^{2} (3 x) + x}$ في صورة ${(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = \sin^{2} (3 x) + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin^{2} (3 x) + x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin^{2} (3 x) + x$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

خطوة 4.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

خطوة 4.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

خطوة 4.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

خطوة 4.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

خطوة 4.6.2.2

انقُل ${(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

خطوة 4.6.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin^{2} (3 x) + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.8.2

مشتق $\sin (u_{3})$ بالنسبة إلى $u_{3}$ يساوي $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $3 x$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.9

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.9.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.9.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.9.4

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.9.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1)$

خطوة 4.9.6

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1)$ .

$(6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1) \frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1) (\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1) (\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}})$