حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{5 + 6 x - 5 x^{2}}{x}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 + 6 x - 5 x^{2}}{x})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 5 + 6 x - 5 x^{2}$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [5 + 6 x - 5 x^{2}] - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 + 6 x - 5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2.4

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2.6

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{x (6 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2.7

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (6 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x (6 - 5 (2 x)) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2.9

اضرب $2$ في $- 5$ .

$\frac{x (6 - 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x (6 - 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 3.2.11

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x (6 - 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2})}{x^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot 6 + x (- 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2})}{x^{2}}$

خطوة 3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot 6 + x (- 10 x) - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

خطوة 3.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

انقُل $6$ إلى يسار $x$ .

$\frac{6 \cdot x + x (- 10 x) - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

خطوة 3.3.3.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{6 x - 10 x \cdot x - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

خطوة 3.3.3.1.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.3.1

انقُل $x$ .

$\frac{6 x - 10 (x \cdot x) - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

خطوة 3.3.3.1.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

خطوة 3.3.3.1.4

اضرب $- 1$ في $5$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

خطوة 3.3.3.1.5

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 5 - 6 x - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

خطوة 3.3.3.1.6

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 5 - 6 x + 5 x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 3.3.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $6 x - 10 x^{2} - 5 - 6 x + 5 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

اطرح $6 x$ من $6 x$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 5 + 0 + 5 x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 3.3.3.2.2

أضف $- 10 x^{2} - 5$ و $0$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 5 + 5 x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 3.3.3.3

أضف $- 10 x^{2}$ و $5 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 5}{x^{2}}$

خطوة 3.3.4

أخرِج العامل $5$ من $- 5 x^{2} - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أخرِج العامل $5$ من $- 5 x^{2}$ .

$\frac{5 (- x^{2}) - 5}{x^{2}}$

خطوة 3.3.4.2

أخرِج العامل $5$ من $- 5$ .

$\frac{5 (- x^{2}) + 5 (- 1)}{x^{2}}$

خطوة 3.3.4.3

أخرِج العامل $5$ من $5 (- x^{2}) + 5 (- 1)$ .

$\frac{5 (- x^{2} - 1)}{x^{2}}$

خطوة 3.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$\frac{5 (- (x^{2}) - 1)}{x^{2}}$

خطوة 3.3.6

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{5 (- (x^{2}) - 1 (1))}{x^{2}}$

خطوة 3.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{5 (- (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

خطوة 3.3.8

أعِد كتابة $- (x^{2} + 1)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{5 (- 1 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

خطوة 3.3.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{5 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$