حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$y = \ln (x^{\ln (x)})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{\ln (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{\ln (x)}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{\ln (x)}$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

خطوة 4.2

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $x^{\ln (x)}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

خطوة 4.2.2

وسّع $\ln (x^{\ln (x)})$ بنقل $\ln (x)$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

خطوة 4.3

ارفع $\ln (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

خطوة 4.4

ارفع $\ln (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

خطوة 4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

خطوة 4.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

خطوة 4.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

خطوة 4.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

خطوة 4.8

اجمع $e^{\ln^{2} (x)}$ و $\frac{1}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

خطوة 4.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 4.9.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 4.9.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 4.10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

اجمع $2$ و $\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 4.10.2

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 4.11

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 4.12

اضرب $\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}$

خطوة 4.13

اضرب $x^{\ln (x)}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}$

خطوة 4.13.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

خطوة 4.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

خطوة 4.14.2

بسّط $2 \ln (x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

خطوة 4.14.3

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$