حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$y = \ln (x^{\ln (x)})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))$

خطوة 3

مشتق

$y$ بالنسبة إلى

$x$ يساوي

$y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو

$f' (g (x)) g' (x)$ حيث

$f (x) = \ln (x)$ و

$g (x) = x^{\ln (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة

$u_{1}$ لتصبح

$x^{\ln (x)}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

خطوة 4.1.2

مشتق

$\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى

$u_{1}$ يساوي

$\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث

$u_{1}$ بـ

$x^{\ln (x)}$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

خطوة 4.2

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة

$x^{\ln (x)}$ بالصيغة

$e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

خطوة 4.2.2

وسّع

$\ln (x^{\ln (x)})$ بنقل

$\ln (x)$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

خطوة 4.3

ارفع

$\ln (x)$ إلى القوة

$1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

خطوة 4.4

ارفع

$\ln (x)$ إلى القوة

$1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

خطوة 4.5

استخدِم قاعدة القوة

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

خطوة 4.6

أضف

$1$ و

$1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو

$f' (g (x)) g' (x)$ حيث

$f (x) = e^{x}$ و

$g (x) = \ln^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة

$u_{2}$ لتصبح

$\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

خطوة 4.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن

$\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو

$a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث

$a$ =

$e$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

خطوة 4.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث

$u_{2}$ بـ

$\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

خطوة 4.8

اجمع

$e^{\ln^{2} (x)}$ و

$\frac{1}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

خطوة 4.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو

$f' (g (x)) g' (x)$ حيث

$f (x) = x^{2}$ و

$g (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة

$u_{3}$ لتصبح

$\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 4.9.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

$\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو

$n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث

$n = 2$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 4.9.3

استبدِل كافة حالات حدوث

$u_{3}$ بـ

$\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 4.10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

اجمع

$2$ و

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 4.10.2

اجمع

$\ln (x)$ و

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 4.11

مشتق

$\ln (x)$ بالنسبة إلى

$x$ يساوي

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 4.12

اضرب

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}$ في

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}$

خطوة 4.13

اضرب

$x^{\ln (x)}$ في

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.1

ارفع

$x$ إلى القوة

$1$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}$

خطوة 4.13.2

استخدِم قاعدة القوة

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

خطوة 4.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

خطوة 4.14.2

بسّط

$2 \ln (x)$ بنقل

$2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

خطوة 4.14.3

أعِد ترتيب العوامل في

$\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

خطوة 6

استبدِل

$y'$ بـ

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$