حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 8 + x^{3} e^{y}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 + x^{3} e^{y})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 + x^{3} e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}]$

خطوة 3.1.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = e^{y}$ .

$0 + x^{3} \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$0 + x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$0 + x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$0 + x^{3} (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$0 + x^{3} (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$0 + x^{3} (e^{y} y') + e^{y} (3 x^{2})$

خطوة 3.2.5

انقُل $3$ إلى يسار $e^{y}$ .

$0 + x^{3} e^{y} y' + 3 e^{y} x^{2}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أضف $0$ و $x^{3} e^{y} y' + 3 e^{y} x^{2}$ .

$x^{3} e^{y} y' + 3 e^{y} x^{2}$

خطوة 3.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{y} x^{3} y' + 3 e^{y} x^{2}$

خطوة 3.3.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{y} x^{3} y' + 3 e^{y} x^{2}$ .

$x^{3} e^{y} y' + 3 x^{2} e^{y}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = x^{3} e^{y} y' + 3 x^{2} e^{y}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد ترتيب العوامل في $x^{3} e^{y} y' + 3 x^{2} e^{y}$ .

$y' = x^{3} y' e^{y} + 3 x^{2} e^{y}$

خطوة 5.2

اطرح $x^{3} y' e^{y}$ من كلا المتعادلين.

$y' - x^{3} y' e^{y} = 3 x^{2} e^{y}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' - x^{3} y' e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x^{3} y' e^{y} = 3 x^{2} e^{y}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- x^{3} y' e^{y}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x^{3} e^{y}) = 3 x^{2} e^{y}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cdot 1 + y' (- x^{3} e^{y})$ .

$y' (1 - x^{3} e^{y}) = 3 x^{2} e^{y}$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y' (1 - x^{3} e^{y}) = 3 x^{2} e^{y}$ على $1 - x^{3} e^{y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (1 - x^{3} e^{y}) = 3 x^{2} e^{y}$ على $1 - x^{3} e^{y}$ .

$\frac{y' (1 - x^{3} e^{y})}{1 - x^{3} e^{y}} = \frac{3 x^{2} e^{y}}{1 - x^{3} e^{y}}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - x^{3} e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (1 - x^{3} e^{y})}{1 - x^{3} e^{y}} = \frac{3 x^{2} e^{y}}{1 - x^{3} e^{y}}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} e^{y}}{1 - x^{3} e^{y}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} e^{y}}{1 - x^{3} e^{y}}$