حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (\arctan (2 x^{3}))$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\arctan (2 x^{3})))$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \arctan (2 x^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\arctan (2 x^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\arctan (2 x^{3})$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = 2 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

خطوة 3.2.2

مشتق $\arctan (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {(2 x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {(2 (x^{3}))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

خطوة 3.3.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 (x^{3})$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 2^{2} {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

خطوة 3.3.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

خطوة 3.3.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 x^{3 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

خطوة 3.3.2.1.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 x^{6}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $\frac{1}{1 + 4 x^{6}}$ في $\frac{1}{\arctan (2 x^{3})}$ .

$\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 3.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.3.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ .

$\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} (3 x^{2})$

خطوة 3.3.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

اجمع $3$ و $\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} x^{2}$

خطوة 3.3.6.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} x^{2}$

خطوة 3.3.6.3

اجمع $\frac{6}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ و $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 x^{2}}{1 \arctan (2 x^{3}) + 4 x^{6} \arctan (2 x^{3})}$

خطوة 3.4.2

اضرب $\arctan (2 x^{3})$ في $1$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) + 4 x^{6} \arctan (2 x^{3})}$

خطوة 3.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{6 x^{2}}{4 x^{6} \arctan (2 x^{3}) + \arctan (2 x^{3})}$

خطوة 3.4.4

أخرِج العامل $\arctan (2 x^{3})$ من $4 x^{6} \arctan (2 x^{3}) + \arctan (2 x^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

أخرِج العامل $\arctan (2 x^{3})$ من $4 x^{6} \arctan (2 x^{3})$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3})}$

خطوة 3.4.4.2

اضرب في $1$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3}) \cdot 1}$

خطوة 3.4.4.3

أخرِج العامل $\arctan (2 x^{3})$ من $\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3}) \cdot 1$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$