حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{4 \cos (x)}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{4 \cos (x)})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة $x^{4 \cos (x)}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{4 \cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{4 \cos (x)})}]$

خطوة 3.1.2

وسّع $\ln (x^{4 \cos (x)})$ بنقل $4 \cos (x)$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{4 \cos (x) \ln (x)}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 \cos (x) \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 \cos (x) \ln (x)]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 \cos (x) \ln (x)]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 \cos (x) \ln (x)$ .

$e^{4 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [4 \cos (x) \ln (x)]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \cos (x) \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$ .

$e^{4 \cos (x) \ln (x)} (4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)])$

خطوة 3.3.2

انقُل $4$ إلى يسار $e^{4 \cos (x) \ln (x)}$ .

$4 \cdot e^{4 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 3.5

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 3.6

اجمع $\cos (x)$ و $\frac{1}{x}$ .

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 3.7

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

خطوة 3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

خطوة 3.8.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

اجمع $\frac{\cos (x)}{x}$ و $4$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 4}{x} e^{4 \cos (x) \ln (x)} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

خطوة 3.8.2.2

اجمع $\frac{\cos (x) \cdot 4}{x}$ و $e^{4 \cos (x) \ln (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

خطوة 3.8.2.3

انقُل $4$ إلى يسار $\cos (x)$ .

$\frac{4 \cdot \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

خطوة 3.8.2.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{4 \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x} - 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \ln (x) \sin (x)$

خطوة 3.8.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{4 \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{4 \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{4 \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x}$