حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{t} + \frac{1}{t^{2}} - \frac{1}{\sqrt{t}}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{t} + \frac{1}{t^{2}} - \frac{1}{\sqrt{t}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{t}$ بالصيغة $t^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- t^{- 2} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{t^{2}}$ بالصيغة ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$- t^{- 2} + \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $t^{2}$ .

$- t^{- 2} + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- t^{- 2} - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $t^{2}$ .

$- t^{- 2} - {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- t^{- 2} - {(t^{2})}^{- 2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

خطوة 3.4

اضرب الأُسس في ${(t^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- t^{- 2} - t^{2 \cdot - 2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

خطوة 3.4.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- t^{- 2} - t^{- 4} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

خطوة 3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 4} t + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

خطوة 3.6

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$- t^{- 2} - 2 (t^{1} t^{- 4}) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

خطوة 3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- t^{- 2} - 2 t^{1 - 4} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

خطوة 3.8

اطرح $4$ من $1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = - 1$ و $g (t) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 4.3

أعِد كتابة $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 4.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 4.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 4.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.7

اضرب الأُسس في ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.8

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.9

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.11.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.13

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.14

اجمع $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $t^{- 1}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{- 1}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.15

اضرب $t^{- \frac{1}{2}}$ في $t^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.15.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.15.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.15.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.15.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.15.5.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.15.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.16

انقُل $t^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.17

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + 1 \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.18

اضرب $\frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$ في $1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 4.19

اضرب $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ في $0$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + 0$

خطوة 4.20

أضف $\frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$ و $0$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} - 2 \frac{1}{t^{3}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 7

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{t^{3}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{- 2}{t^{3}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{t^{2}} - \frac{2}{t^{3}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$