حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sin^{2} (e^{5 x}) + \cos^{2} (e^{5 x})$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin^{2} (e^{5 x}) + \cos^{2} (e^{5 x})$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (e^{5 x})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (e^{5 x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (e^{5 x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (e^{5 x})$ .

$2 \sin (e^{5 x}) \frac{d}{d x} [\sin (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = e^{5 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $e^{5 x}$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{5 x}$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $5 x$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [5 x])) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ هو $a^{u_{3}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [5 x])) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $5 x$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

خطوة 2.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

خطوة 2.6

اضرب $5$ في $1$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{5 x} \cdot 5)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

خطوة 2.7

انقُل $5$ إلى يسار $e^{5 x}$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (5 \cdot e^{5 x})) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

خطوة 2.8

اضرب $5$ في $2$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (e^{5 x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{4}$ لتصبح $\cos (e^{5 x})$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + \frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (e^{5 x})]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ هو $n {u_{4}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 u_{4} \frac{d}{d x} [\cos (e^{5 x})]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{4}$ بـ $\cos (e^{5 x})$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{5 x})]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = e^{5 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{5}$ لتصبح $e^{5 x}$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{5}} [\cos (u_{5})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

خطوة 3.2.2

مشتق $\cos (u_{5})$ بالنسبة إلى $u_{5}$ يساوي $- \sin (u_{5})$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (u_{5}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{5}$ بـ $e^{5 x}$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{6}$ لتصبح $5 x$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{6}} [e^{u_{6}}] \frac{d}{d x} [5 x]))$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{6}} [a^{u_{6}}]$ هو $a^{u_{6}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{u_{6}} \frac{d}{d x} [5 x]))$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{6}$ بـ $5 x$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]))$

خطوة 3.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])))$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \cdot 1)))$

خطوة 3.6

اضرب $5$ في $1$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{5 x} \cdot 5))$

خطوة 3.7

انقُل $5$ إلى يسار $e^{5 x}$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (5 \cdot e^{5 x}))$

خطوة 3.8

اضرب $5$ في $- 1$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- 5 \sin (e^{5 x}) e^{5 x})$

خطوة 3.9

اضرب $- 5$ في $2$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} - 10 \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) e^{5 x}$

خطوة 4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد ترتيب عوامل $10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x}$ .

$10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) - 10 \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) e^{5 x}$

خطوة 4.2

اطرح $10 \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) e^{5 x}$ من $10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

انقُل $\cos (e^{5 x})$ .

$10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) - 10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x})$

خطوة 4.2.2

اطرح $10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x})$ من $10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x})$ .

$0$