حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ غير معرّفة.

$x < 0, x = 4$

خطوة 2

بما أن $\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $4$ من جهة اليسار و $\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $4$ من جهة اليمين، إذن $x = 4$ خط تقارب رأسي.

$x = 4$

خطوة 3

احسِب قيمة $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{- 4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

خطوة 3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

خطوة 3.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

خطوة 3.2.2.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

خطوة 3.2.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

خطوة 3.2.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

خطوة 3.2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

خطوة 3.2.4

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

خطوة 3.3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{4 \sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.4.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{4 \sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.4.3

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.1.2

عند اقتراب $x$ من $\infty$ للجذور، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.3.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.3.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.3.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.3.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.9.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.3.9.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.5

أعِد كتابة $x^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.5.6

اضرب $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ في $1$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.6

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.7

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{\sqrt{x}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

خطوة 3.8

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 3.9

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

خطوة 3.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

خطوة 3.10.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{0}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

خطوة 3.10.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{0}{1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

خطوة 3.10.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{0}{1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

خطوة 3.10.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{0}{1 - 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

خطوة 3.10.2.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 4 \cdot 0}$

خطوة 3.10.2.3

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 0}$

خطوة 3.10.2.4

أضف $1 + 0$ و $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

خطوة 3.10.2.5

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{0}{1}$

خطوة 3.10.3

اقسِم $0$ على $1$ .

$0$

خطوة 4

اسرِد خطوط التقارب الأفقية:

$y = 0$

خطوة 5

استخدِم قسمة متعددات الحدود لإيجاد خطوط التقارب المائلة. نظرًا إلى أن هذه العبارة تتضمن جذرًا، لا يمكن إجراء قسمة متعددات الحدود.

لا يمكن إيجاد خطوط تقارب مائلة

خطوة 6

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = 4$

خطوط التقارب الأفقية: $y = 0$

لا يمكن إيجاد خطوط تقارب مائلة

خطوة 7