حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ غير معرّفة.

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 2

تظهر خطوط التقارب الرأسية في مناطق عدم الاتصال اللانهائي.

لا توجد خطوط تقارب رأسية

خطوة 3

احسِب قيمة $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

خطوة 3.1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

خطوة 3.1.1.2.2

بما أن الدالة $e^{x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $2$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.2.2.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $2$ المحذوف.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

خطوة 3.1.1.2.2.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

خطوة 3.1.1.2.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.2.3.1

احسِب قيمة حد $6$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

خطوة 3.1.1.2.3.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.2.3.2.1

اضرب $- 1$ في $6$ .

$\frac{\infty - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

خطوة 3.1.1.2.3.2.2

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

خطوة 3.1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 3.1.1.3.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 3.1.1.3.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 1}$

خطوة 3.1.1.3.4

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 3.1.1.3.5

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 3.1.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 3.1.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

خطوة 3.1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

خطوة 3.1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 e^{x} - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

خطوة 3.1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

خطوة 3.1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

خطوة 3.1.3.4

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

خطوة 3.1.3.5

أضف $2 e^{x}$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

خطوة 3.1.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

خطوة 3.1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}$

خطوة 3.1.3.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 0}$

خطوة 3.1.3.9

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

خطوة 3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

خطوة 3.1.4.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$2$

خطوة 4

احسِب قيمة $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

خطوة 4.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

خطوة 4.1.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

خطوة 4.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $- \infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

خطوة 4.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

احسِب قيمة حد $6$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

خطوة 4.3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 1}$

خطوة 4.4

بما أن الأُس $x$ يقترب من $- \infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + lim_{x \to - \infty} 1}$

خطوة 4.5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

خطوة 4.5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

خطوة 4.5.2.1.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$\frac{0 - 6}{0 + 1}$

خطوة 4.5.2.1.3

اطرح $6$ من $0$ .

$\frac{- 6}{0 + 1}$

خطوة 4.5.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{- 6}{1}$

خطوة 4.5.2.3

اقسِم $- 6$ على $1$ .

$- 6$

خطوة 5

اسرِد خطوط التقارب الأفقية:

$y = 2, - 6$

خطوة 6

لا يوجد خط تقارب مائل لأن درجة بسْط الكسر أصغر من أو تساوي درجة القاسم.

لا توجد خطوط تقارب مائلة

خطوة 7

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

لا توجد خطوط تقارب رأسية

خطوط التقارب الأفقية: $y = 2, - 6$

لا توجد خطوط تقارب مائلة

خطوة 8