حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2} - 36}{2 x + 5}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{x^{2} - 36}{2 x + 5}$ غير معرّفة.

$x = - \frac{5}{2}$

خطوة 2

ضع في اعتبارك الدالة الكسرية $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ حيث $n$ هي درجة البسط و $m$ هي درجة القاسم.

1. إذا كانت $n < m$ ، فإن المحور السيني، $y = 0$ ، هو خط التقارب الأفقي.

2. في حالة $n = m$ ، فإن خط التقارب الأفقي هو الخط $y = \frac{a}{b}$ .

3. في حالة $n > m$ ، لا يوجد خط تقارب أفقي (يوجد خط تقارب مائل).

خطوة 3

أوجِد $n$ و $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

خطوة 4

بما أن $n > m$ ، إذن لا يوجد خط تقارب أفقي.

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوة 5

أوجِد خط التقارب المائل باستخدام قسمة متعددات الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6^{2}}{2 x + 5}$

خطوة 5.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 6$ .

$\frac{(x + 6) (x - 6)}{2 x + 5}$

خطوة 5.2

وسّع $(x + 6) (x - 6)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (x - 6) + 6 (x - 6)}{2 x + 5}$

خطوة 5.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 6 + 6 (x - 6)}{2 x + 5}$

خطوة 5.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 6 + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

خطوة 5.2.4

أعِد ترتيب $x$ و $- 6$ .

$\frac{x \cdot x - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

خطوة 5.2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \cdot x - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

خطوة 5.2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \cdot x - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

خطوة 5.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{1 + 1} - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

خطوة 5.2.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

خطوة 5.2.9

اضرب $6$ في $- 6$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 6 x - 36}{2 x + 5}$

خطوة 5.2.10

أضف $- 6 x$ و $6 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 36}{2 x + 5}$

خطوة 5.2.11

اطرح $36$ من $0$ .

$\frac{x^{2} - 36}{2 x + 5}$

خطوة 5.3

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$2 x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$36$

خطوة 5.4

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

					$\frac{x}{2}$
	$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$

خطوة 5.5

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{5 x}{2}$

خطوة 5.6

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + \frac{5 x}{2}$

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$

خطوة 5.7

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$

خطوة 5.8

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$

خطوة 5.9

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- \frac{5 x}{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$

خطوة 5.10

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$

خطوة 5.11

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- \frac{5 x}{2} - \frac{25}{4}$

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$
					+	$\frac{5 x}{2}$	+	$\frac{25}{4}$

خطوة 5.12

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$
					+	$\frac{5 x}{2}$	+	$\frac{25}{4}$
							-	$\frac{119}{4}$

خطوة 5.13

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\frac{x}{2} - \frac{5}{4} - \frac{119}{4 (2 x + 5)}$

خطوة 5.14

خط التقارب المائل هو جزء متعدد الحدود من ناتج القسمة المطولة.

$y = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

خطوة 6

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = - \frac{5}{2}$

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوط التقارب المائلة: $y = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

خطوة 7