حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{49 - x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد نطاق $y = \sqrt{49 - x^{2}}$ بحيث يمكن انتقاء قائمة قيم $x$ لإيجاد قائمة النقاط، والتي ستساعد في رسم الدالة الجذرية بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة العبارة $7 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

عيّن قيمة $7 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$7 + x = 0$

خطوة 1.2.2.2

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$x = - 7$

خطوة 1.2.3

عيّن قيمة العبارة $7 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عيّن قيمة $7 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$7 - x = 0$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $7 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 7$

خطوة 1.2.3.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 7$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 7$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.3.1

اقسِم $- 7$ على $- 1$ .

$x = 7$

خطوة 1.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ صحيحة.

$x = - 7, 7$

خطوة 1.2.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

خطوة 1.2.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 7$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 7$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 10$

خطوة 1.2.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 10$ في المتباينة الأصلية.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

خطوة 1.2.6.1.3

الطرف الأيسر $- 51$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 1.2.6.2

اختبر قيمة في الفترة $- 7 < x < 7$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 7 < x < 7$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 1.2.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

خطوة 1.2.6.2.3

الطرف الأيسر $49$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 1.2.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 7$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 7$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 10$

خطوة 1.2.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $10$ في المتباينة الأصلية.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

خطوة 1.2.6.3.3

الطرف الأيسر $- 51$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 1.2.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 7$ خطأ

$- 7 < x < 7$ صحيحة

$x > 7$ خطأ

$x < - 7$ خطأ

$- 7 < x < 7$ صحيحة

$x > 7$ خطأ

خطوة 1.2.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 7 \leq x \leq 7$

خطوة 1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[- 7, 7]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

ترميز الفترة:

$[- 7, 7]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

خطوة 2

لإيجاد نقاط النهاية، عوّض بحدود قيم $x$ من النطاق في $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 7$ في العبارة.

$f (- 7) = \sqrt{(7 - 7) (7 - (- 7))}$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف الأقواس.

$f (- 7) = \sqrt{(7 - 7) (7 - (- 7))}$

خطوة 2.2.2

اطرح $7$ من $7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 (7 - (- 7))}$

خطوة 2.2.3

اضرب $- 1$ في $- 7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 (7 + 7)}$

خطوة 2.2.4

أضف $7$ و $7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 \cdot 14}$

خطوة 2.2.5

اضرب $0$ في $14$ .

$f (- 7) = \sqrt{0}$

خطوة 2.2.6

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$f (- 7) = \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.2.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (- 7) = 0$

خطوة 2.2.8

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 2.3

استبدِل المتغير $x$ بـ $7$ في العبارة.

$f (7) = \sqrt{(7 + 7) (7 - (7))}$

خطوة 2.4

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

احذِف الأقواس.

$f (7) = \sqrt{(7 + 7) (7 - (7))}$

خطوة 2.4.2

أضف $7$ و $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 (7 - (7))}$

خطوة 2.4.3

اضرب $- 1$ في $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 (7 - 7)}$

خطوة 2.4.4

اطرح $7$ من $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 \cdot 0}$

خطوة 2.4.5

اضرب $14$ في $0$ .

$f (7) = \sqrt{0}$

خطوة 2.4.6

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$f (7) = \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.4.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (7) = 0$

خطوة 2.4.8

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3

نقاط النهاية هي $(- 7, 0), (7, 0)$ .

$(- 7, 0), (7, 0)$

خطوة 4

حدد بضع قيم $x$ من النطاق. سيكون من المفيد أكثر تحديد القيم بحيث تكون مجاورة لقيمة $x$ لنقطة نهاية العبارة الجذرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 5$ في $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 5, 2 \sqrt{6})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5$ في العبارة.

$f (- 5) = \sqrt{(7 - 5) (7 - (- 5))}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

احذِف الأقواس.

$f (- 5) = \sqrt{(7 - 5) (7 - (- 5))}$

خطوة 4.1.2.2

اطرح $5$ من $7$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 (7 - (- 5))}$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 (7 + 5)}$

خطوة 4.1.2.4

أضف $7$ و $5$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 \cdot 12}$

خطوة 4.1.2.5

اضرب $2$ في $12$ .

$f (- 5) = \sqrt{24}$

خطوة 4.1.2.6

أعِد كتابة $24$ بالصيغة $2^{2} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.6.1

أخرِج العامل $4$ من $24$ .

$f (- 5) = \sqrt{4 (6)}$

خطوة 4.1.2.6.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (- 5) = \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

خطوة 4.1.2.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (- 5) = 2 \sqrt{6}$

خطوة 4.1.2.8

الإجابة النهائية هي $2 \sqrt{6}$ .

$y = 2 \sqrt{6}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 3$ في $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 3, 2 \sqrt{10})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f (- 3) = \sqrt{(7 - 3) (7 - (- 3))}$

خطوة 4.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

احذِف الأقواس.

$f (- 3) = \sqrt{(7 - 3) (7 - (- 3))}$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $3$ من $7$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 (7 - (- 3))}$

خطوة 4.2.2.3

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 (7 + 3)}$

خطوة 4.2.2.4

أضف $7$ و $3$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 \cdot 10}$

خطوة 4.2.2.5

اضرب $4$ في $10$ .

$f (- 3) = \sqrt{40}$

خطوة 4.2.2.6

أعِد كتابة $40$ بالصيغة $2^{2} \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.6.1

أخرِج العامل $4$ من $40$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 (10)}$

خطوة 4.2.2.6.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (- 3) = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

خطوة 4.2.2.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (- 3) = 2 \sqrt{10}$

خطوة 4.2.2.8

الإجابة النهائية هي $2 \sqrt{10}$ .

$y = 2 \sqrt{10}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ في $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 1, 4 \sqrt{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = \sqrt{(7 - 1) (7 - (- 1))}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

احذِف الأقواس.

$f (- 1) = \sqrt{(7 - 1) (7 - (- 1))}$

خطوة 4.3.2.2

اطرح $1$ من $7$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 (7 - (- 1))}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 (7 + 1)}$

خطوة 4.3.2.4

أضف $7$ و $1$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 \cdot 8}$

خطوة 4.3.2.5

اضرب $6$ في $8$ .

$f (- 1) = \sqrt{48}$

خطوة 4.3.2.6

أعِد كتابة $48$ بالصيغة $4^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.1

أخرِج العامل $16$ من $48$ .

$f (- 1) = \sqrt{16 (3)}$

خطوة 4.3.2.6.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$f (- 1) = \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

خطوة 4.3.2.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (- 1) = 4 \sqrt{3}$

خطوة 4.3.2.8

الإجابة النهائية هي $4 \sqrt{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3}$

خطوة 4.4

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3$ في $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(3, 2 \sqrt{10})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = \sqrt{(7 + 3) (7 - (3))}$

خطوة 4.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

احذِف الأقواس.

$f (3) = \sqrt{(7 + 3) (7 - (3))}$

خطوة 4.4.2.2

أضف $7$ و $3$ .

$f (3) = \sqrt{10 (7 - (3))}$

خطوة 4.4.2.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f (3) = \sqrt{10 (7 - 3)}$

خطوة 4.4.2.4

اطرح $3$ من $7$ .

$f (3) = \sqrt{10 \cdot 4}$

خطوة 4.4.2.5

اضرب $10$ في $4$ .

$f (3) = \sqrt{40}$

خطوة 4.4.2.6

أعِد كتابة $40$ بالصيغة $2^{2} \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.6.1

أخرِج العامل $4$ من $40$ .

$f (3) = \sqrt{4 (10)}$

خطوة 4.4.2.6.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (3) = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

خطوة 4.4.2.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (3) = 2 \sqrt{10}$

خطوة 4.4.2.8

الإجابة النهائية هي $2 \sqrt{10}$ .

$y = 2 \sqrt{10}$

خطوة 4.5

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $5$ في $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(5, 2 \sqrt{6})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f (5) = \sqrt{(7 + 5) (7 - (5))}$

خطوة 4.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

احذِف الأقواس.

$f (5) = \sqrt{(7 + 5) (7 - (5))}$

خطوة 4.5.2.2

أضف $7$ و $5$ .

$f (5) = \sqrt{12 (7 - (5))}$

خطوة 4.5.2.3

اضرب $- 1$ في $5$ .

$f (5) = \sqrt{12 (7 - 5)}$

خطوة 4.5.2.4

اطرح $5$ من $7$ .

$f (5) = \sqrt{12 \cdot 2}$

خطوة 4.5.2.5

اضرب $12$ في $2$ .

$f (5) = \sqrt{24}$

خطوة 4.5.2.6

أعِد كتابة $24$ بالصيغة $2^{2} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.6.1

أخرِج العامل $4$ من $24$ .

$f (5) = \sqrt{4 (6)}$

خطوة 4.5.2.6.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (5) = \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

خطوة 4.5.2.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (5) = 2 \sqrt{6}$

خطوة 4.5.2.8

الإجابة النهائية هي $2 \sqrt{6}$ .

$y = 2 \sqrt{6}$

خطوة 4.6

يمكن تمثيل الجذر التربيعي بيانيًا باستخدام النقاط الواقعة حول الرأس $(- 7, 0), (7, 0), (- 5, 4.9), (- 3, 6.32), (- 1, 6.93), (1, 6.93), (3, 6.32), (5, 4.9)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & 0 \\ - 5 & 4.9 \\ - 3 & 6.32 \\ - 1 & 6.93 \\ 1 & 6.93 \\ 3 & 6.32 \\ 5 & 4.9 \\ 7 & 0 \end{array}$

خطوة 5