حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 14 x - 2 x^{2}$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد ترتيب $14 x$ و $- 2 x^{2}$ .

$y = - 2 x^{2} + 14 x$

خطوة 1.1.2

أكمل المربع لـ $- 2 x^{2} + 14 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 2$

$b = 14$

$c = 0$

خطوة 1.1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{14}{2 \cdot - 2}$

خطوة 1.1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $14$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $14$ .

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 2}$

خطوة 1.1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 (- 2)}$

خطوة 1.1.2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 2}$

خطوة 1.1.2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{7}{- 2}$

خطوة 1.1.2.3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$d = - \frac{7}{2}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{14^{2}}{4 \cdot - 2}$

خطوة 1.1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.2.1.1

ارفع $14$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot - 2}$

خطوة 1.1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$e = 0 - \frac{196}{- 8}$

خطوة 1.1.2.4.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $196$ و $- 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.2.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $196$ .

$e = 0 - \frac{4 (49)}{- 8}$

خطوة 1.1.2.4.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 8$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot - 2}$

خطوة 1.1.2.4.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot - 2}$

خطوة 1.1.2.4.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - \frac{49}{- 2}$

خطوة 1.1.2.4.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$e = 0 - - \frac{49}{2}$

خطوة 1.1.2.4.2.1.5

اضرب $- - \frac{49}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.2.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{49}{2})$

خطوة 1.1.2.4.2.1.5.2

اضرب $\frac{49}{2}$ في $1$ .

$e = 0 + \frac{49}{2}$

خطوة 1.1.2.4.2.2

أضف $0$ و $\frac{49}{2}$ .

$e = \frac{49}{2}$

خطوة 1.1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$ .

$- 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$

خطوة 1.1.3

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = - 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = - 2$

$h = \frac{7}{2}$

$k = \frac{49}{2}$

خطوة 1.3

بما أن قيمة $a$ سالبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أسفل.

مفتوح إلى أسفل

خطوة 1.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

خطوة 1.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

خطوة 1.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اضرب $4$ في $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

خطوة 1.5.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{8}$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = \frac{7}{2}$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = \frac{197}{8}$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

البؤرة: $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

محور التناظر: $x = \frac{7}{2}$

الدليل: $y = \frac{197}{8}$

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

البؤرة: $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

محور التناظر: $x = \frac{7}{2}$

الدليل: $y = \frac{197}{8}$

خطوة 2

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = - 2 {(3)}^{2} + 14 (3)$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (3) = - 2 \cdot 9 + 14 (3)$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $- 2$ في $9$ .

$f (3) = - 18 + 14 (3)$

خطوة 2.2.1.3

اضرب $14$ في $3$ .

$f (3) = - 18 + 42$

خطوة 2.2.2

أضف $- 18$ و $42$ .

$f (3) = 24$

خطوة 2.2.3

الإجابة النهائية هي $24$ .

$24$

خطوة 2.3

قيمة $y$ عند $x = 3$ تساوي $24$ .

$y = 24$

خطوة 2.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = - 2 {(2)}^{2} + 14 (2)$

خطوة 2.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = - 2 \cdot 4 + 14 (2)$

خطوة 2.5.1.2

اضرب $- 2$ في $4$ .

$f (2) = - 8 + 14 (2)$

خطوة 2.5.1.3

اضرب $14$ في $2$ .

$f (2) = - 8 + 28$

خطوة 2.5.2

أضف $- 8$ و $28$ .

$f (2) = 20$

خطوة 2.5.3

الإجابة النهائية هي $20$ .

$20$

خطوة 2.6

قيمة $y$ عند $x = 2$ تساوي $20$ .

$y = 20$

خطوة 2.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f (5) = - 2 {(5)}^{2} + 14 (5)$

خطوة 2.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f (5) = - 2 \cdot 25 + 14 (5)$

خطوة 2.8.1.2

اضرب $- 2$ في $25$ .

$f (5) = - 50 + 14 (5)$

خطوة 2.8.1.3

اضرب $14$ في $5$ .

$f (5) = - 50 + 70$

خطوة 2.8.2

أضف $- 50$ و $70$ .

$f (5) = 20$

خطوة 2.8.3

الإجابة النهائية هي $20$ .

$20$

خطوة 2.9

قيمة $y$ عند $x = 5$ تساوي $20$ .

$y = 20$

خطوة 2.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f (6) = - 2 {(6)}^{2} + 14 (6)$

خطوة 2.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f (6) = - 2 \cdot 36 + 14 (6)$

خطوة 2.11.1.2

اضرب $- 2$ في $36$ .

$f (6) = - 72 + 14 (6)$

خطوة 2.11.1.3

اضرب $14$ في $6$ .

$f (6) = - 72 + 84$

خطوة 2.11.2

أضف $- 72$ و $84$ .

$f (6) = 12$

خطوة 2.11.3

الإجابة النهائية هي $12$ .

$12$

خطوة 2.12

قيمة $y$ عند $x = 6$ تساوي $12$ .

$y = 12$

خطوة 2.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 20 \\ 3 & 24 \\ \frac{7}{2} & \frac{49}{2} \\ 5 & 20 \\ 6 & 12 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

البؤرة: $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

محور التناظر: $x = \frac{7}{2}$

الدليل: $y = \frac{197}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 20 \\ 3 & 24 \\ \frac{7}{2} & \frac{49}{2} \\ 5 & 20 \\ 6 & 12 \end{array}$

خطوة 4