حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = y^{2} - 5 y$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أكمل المربع لـ $y^{2} - 5 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

خطوة 1.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

خطوة 1.1.1.3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$d = - \frac{5}{2}$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

خطوة 1.1.1.4.2.2

اطرح $\frac{25}{4}$ من $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

خطوة 1.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة $x$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$x = {(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس، $x = a {(y - k)}^{2} + h$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = 1$

$h = - \frac{25}{4}$

$k = \frac{5}{2}$

خطوة 1.3

بما أن قيمة $a$ موجبة، إذن القطع المكافئ مفتوح على اليمين.

مفتوح على اليمين

خطوة 1.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

خطوة 1.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4}$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي السيني $h$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا على اليسار أو على اليمين.

$(h + p, k)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 6, \frac{5}{2})$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$y = \frac{5}{2}$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الرأسي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي السيني $h$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح على اليسار أو على اليمين.

$x = h - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $h$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$x = - \frac{13}{2}$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح على اليمين

الرأس: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

البؤرة: $(- 6, \frac{5}{2})$

محور التناظر: $y = \frac{5}{2}$

الدليل: $x = - \frac{13}{2}$

الاتجاه: مفتوح على اليمين

الرأس: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

البؤرة: $(- 6, \frac{5}{2})$

محور التناظر: $y = \frac{5}{2}$

الدليل: $x = - \frac{13}{2}$

خطوة 2

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 5.25$ في $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 5.25, 3.5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5.25$ في العبارة.

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

اضرب $4$ في $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 21}}{2}$

خطوة 2.1.2.1.2

اطرح $21$ من $25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{4}}{2}$

خطوة 2.1.2.1.3

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

خطوة 2.1.2.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (- 5.25) = \frac{5 + 2}{2}$

خطوة 2.1.2.1.5

أضف $5$ و $2$ .

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

خطوة 2.1.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $7$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

أعِد كتابة $7$ بالصيغة $1 (7)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 (7)}{2}$

خطوة 2.1.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.2.1

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $1 (2)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

خطوة 2.1.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

خطوة 2.1.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

خطوة 2.1.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{7}{2}$ .

$y = \frac{7}{2}$

خطوة 2.1.3

حوّل $\frac{7}{2}$ إلى رقم عشري.

$= 3.5$

خطوة 2.2

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 5.25$ في $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 5.25, 1.5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5.25$ في العبارة.

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

خطوة 2.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

اضرب $4$ في $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 21}}{2}$

خطوة 2.2.2.1.2

اطرح $21$ من $25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{4}}{2}$

خطوة 2.2.2.1.3

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

خطوة 2.2.2.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (- 5.25) = \frac{5 - 1 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.2.2.1.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - 2}{2}$

خطوة 2.2.2.1.6

اطرح $2$ من $5$ .

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

خطوة 2.2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $1 (3)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 (3)}{2}$

خطوة 2.2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.2.1

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $1 (2)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

خطوة 2.2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

خطوة 2.2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

خطوة 2.2.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

خطوة 2.2.3

حوّل $\frac{3}{2}$ إلى رقم عشري.

$= 1.5$

خطوة 2.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 4.25$ في $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 4.25, \frac{5 + \sqrt{8}}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4.25$ في العبارة.

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

اضرب $4$ في $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 17}}{2}$

خطوة 2.3.2.1.2

اطرح $17$ من $25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

خطوة 2.3.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{5 + \sqrt{8}}{2}$ .

$y = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

خطوة 2.4

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 4.25$ في $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 4.25, \frac{5 - \sqrt{8}}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4.25$ في العبارة.

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

خطوة 2.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

اضرب $4$ في $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 17}}{2}$

خطوة 2.4.2.1.2

اطرح $17$ من $25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

خطوة 2.4.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{5 - \sqrt{8}}{2}$ .

$y = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

خطوة 2.5

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح على اليمين

الرأس: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

البؤرة: $(- 6, \frac{5}{2})$

محور التناظر: $y = \frac{5}{2}$

الدليل: $x = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

خطوة 4