حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \sqrt{2 - x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد نطاق $y = x \sqrt{2 - x^{2}}$ بحيث يمكن انتقاء قائمة قيم $x$ لإيجاد قائمة النقاط، والتي ستساعد في رسم الدالة الجذرية بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{2 - x^{2}}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$2 - x^{2} \geq 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $2$ من كلا طرفي المتباينة.

$- x^{2} \geq - 2$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} \geq - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} \geq - 2$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 1.2.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

خطوة 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

خطوة 1.2.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | \leq \sqrt{2}$

خطوة 1.2.5

اكتب $| x | \leq \sqrt{2}$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$x \geq 0$

خطوة 1.2.5.2

في الجزء الذي يكون فيه $x$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$x \leq \sqrt{2}$

خطوة 1.2.5.3

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$x < 0$

خطوة 1.2.5.4

في الجزء الذي يكون فيه $x$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

خطوة 1.2.5.5

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

خطوة 1.2.6

أوجِد التقاطع بين $x \leq \sqrt{2}$ و $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

خطوة 1.2.7

أوجِد حل $- x \leq \sqrt{2}$ عندما تكون $x < 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

اقسِم كل حد في $- x \leq \sqrt{2}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1.1

اقسِم كل حد في $- x \leq \sqrt{2}$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

خطوة 1.2.7.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

خطوة 1.2.7.1.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

خطوة 1.2.7.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

خطوة 1.2.7.1.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \sqrt{2}$ بالصيغة $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

خطوة 1.2.7.2

أوجِد التقاطع بين $x \geq - \sqrt{2}$ و $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

خطوة 1.2.8

أوجِد اتحاد الحلول.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

خطوة 1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

ترميز الفترة:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

خطوة 2

لإيجاد نقاط النهاية، عوّض بحدود قيم $x$ من النطاق في $f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \sqrt{2}$ في العبارة.

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) \sqrt{2 - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

خطوة 2.2.2

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

انقُل ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{2})}$

خطوة 2.2.2.2

اضرب ${(- 1)}^{2}$ في $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{2})}$

خطوة 2.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 2.2.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 2.2.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.2.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.2.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.2.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.2.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

خطوة 2.2.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 1 \cdot 2}$

خطوة 2.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

خطوة 2.2.5.2

اطرح $2$ من $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0}$

خطوة 2.2.5.3

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.2.5.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \cdot 0$

خطوة 2.2.6

اضرب $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

خطوة 2.2.6.2

اضرب $0$ في $\sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0$

خطوة 2.2.7

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 2.3

استبدِل المتغير $x$ بـ $\sqrt{2}$ في العبارة.

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) \sqrt{2 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(\sqrt{2})}^{2})}$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

خطوة 2.4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

خطوة 2.4.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

خطوة 2.4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

خطوة 2.4.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

خطوة 2.4.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 1 \cdot 2)}$

خطوة 2.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

خطوة 2.4.3.2

اطرح $2$ من $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 \cdot 0}$

خطوة 2.4.3.3

اضرب $2$ في $0$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0}$

خطوة 2.4.3.4

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.4.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (\sqrt{2}) = 0$

خطوة 2.4.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3

نقاط النهاية هي $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$ .

$(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$

خطوة 4

يمكن تمثيل الجذر التربيعي بيانيًا باستخدام النقاط الواقعة حول الرأس $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0),$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 0 \end{array}$

خطوة 5